Integrale con Cambio Coordinate Cilindriche
Salve,
ho risolto un esercizio utilizzando due cambi di coordinate, Sferiche e Cilindriche.
Il risultato ottenuto è però diverso nei due casi.
Probabilmente avrò commesso qualche errore d'impostazione ma dopo averlo guardato e riguardato mille volte non riesco a capire dove sbaglio.
Potreste gentilmente aiutarmi a capire l'errore?
$A := { (x,y,z)in {R}^3 : x^2 + y^2 + z^2<=1\ \;\ \ z>= sqrt(x^2+y^2)} $; $\int int int (x^2 + y^2)z\ \dxdydz$
con il cambio di coordinate cilindriche l'integrale è diventato
$E := { (rho,phi,z)in {R}^3 : 0<=phi<=2pi\ \;\ \0<=rho<=1/sqrt(2)\ \;\ \ rho<=z<= sqrt(1-rho^2)} $;
$\int int int (rho^2) z rho \ \ drhodphidz$
integrando la variabile $phi$ l'integrale sarà $\ \2pi \int_{rho=0}^{1/sqrt(2)} int_{z=rho}^{sqrt(1-rho^2)} (rho^3) z\ \ drhodz$
integrando la variabile $z$ lintegrale sarà $\ \2pi \int_{rho=0}^{1/sqrt(2)} (rho^3)\ \(1-rho^2-rho^2)/2\ \ drho$ = $pi \int_{rho=0}^{1/sqrt(2)} (rho^3-2rho^5)\ \ drho$
integrando la variabile $rho$ ottengo $\ \pi(rho^4/4 - rho^6/3)$ che calcolata agli estremi è $pi(1/16-1/3*1/16)$ = $pi/24$
Se invece integro utilizzando le coordinate cilindriche quello che ottengo è:
$E := { (rho,phi,sigma)in {R}^3 : \ \0<=rho<=1\ \;\ \0<=phi<=pi/4\ \;\ \ 0<=sigma<=2pi)} $;
calcolando l'integrale
$int_{sigma=0}^{2pi} dsigma \ \ int_{phi=0}^{pi/4} dphi \ \ int_{rho=0}^{1} (rho^2 sin^2phi rho cosphi) rho^2 sin phi drho =$
$2pi int_{phi=0}^{pi/4} cosphi sin^3phi dphi int_{rho=0}^{1} rho^5 drho =\ \ 2pi ((sin^4phi)/4) (rho^6/6)$
che calcolati agli estremi danno il valore di $pi/48$
l'errore credo sia ne cambio di coordinate cilindriche ma io non lo trovo.
Grazie a tutti.
ho risolto un esercizio utilizzando due cambi di coordinate, Sferiche e Cilindriche.
Il risultato ottenuto è però diverso nei due casi.
Probabilmente avrò commesso qualche errore d'impostazione ma dopo averlo guardato e riguardato mille volte non riesco a capire dove sbaglio.
Potreste gentilmente aiutarmi a capire l'errore?
$A := { (x,y,z)in {R}^3 : x^2 + y^2 + z^2<=1\ \;\ \ z>= sqrt(x^2+y^2)} $; $\int int int (x^2 + y^2)z\ \dxdydz$
con il cambio di coordinate cilindriche l'integrale è diventato
$E := { (rho,phi,z)in {R}^3 : 0<=phi<=2pi\ \;\ \0<=rho<=1/sqrt(2)\ \;\ \ rho<=z<= sqrt(1-rho^2)} $;
$\int int int (rho^2) z rho \ \ drhodphidz$
integrando la variabile $phi$ l'integrale sarà $\ \2pi \int_{rho=0}^{1/sqrt(2)} int_{z=rho}^{sqrt(1-rho^2)} (rho^3) z\ \ drhodz$
integrando la variabile $z$ lintegrale sarà $\ \2pi \int_{rho=0}^{1/sqrt(2)} (rho^3)\ \(1-rho^2-rho^2)/2\ \ drho$ = $pi \int_{rho=0}^{1/sqrt(2)} (rho^3-2rho^5)\ \ drho$
integrando la variabile $rho$ ottengo $\ \pi(rho^4/4 - rho^6/3)$ che calcolata agli estremi è $pi(1/16-1/3*1/16)$ = $pi/24$
Se invece integro utilizzando le coordinate cilindriche quello che ottengo è:
$E := { (rho,phi,sigma)in {R}^3 : \ \0<=rho<=1\ \;\ \0<=phi<=pi/4\ \;\ \ 0<=sigma<=2pi)} $;
calcolando l'integrale
$int_{sigma=0}^{2pi} dsigma \ \ int_{phi=0}^{pi/4} dphi \ \ int_{rho=0}^{1} (rho^2 sin^2phi rho cosphi) rho^2 sin phi drho =$
$2pi int_{phi=0}^{pi/4} cosphi sin^3phi dphi int_{rho=0}^{1} rho^5 drho =\ \ 2pi ((sin^4phi)/4) (rho^6/6)$
che calcolati agli estremi danno il valore di $pi/48$
l'errore credo sia ne cambio di coordinate cilindriche ma io non lo trovo.
Grazie a tutti.
Risposte
"waltermath":
integrando la variabile $ rho $ ottengo $ \ \pi(rho^4/4 - rho^6/3) $ che calcolata agli estremi è $ pi(1/16-1/3*1/16) $ = $ pi/24 $
$ pi(1/16-1/3*1/8) = 1/48 \pi$
Si grazie.....!!!!!!!!!!!!
credo di essere stato troppo preso dal tipo di procedimento tanto da non verificare per bene il valore degli esponenti.
Grazie Mille.
credo di essere stato troppo preso dal tipo di procedimento tanto da non verificare per bene il valore degli esponenti.
Grazie Mille.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo