Integrale con cambiamento di variabili

[zephyr90]

Salve a tutti,

ho questo integrale che non riesco proprio a svolgere.

$ int int_(D)^( ) sqrt(x-7y+25)/(y-3x+21)^2 $

dove D è il quadrilatero di vertici O (0 , 0), A (1 , 3), B (8 , 4) e C (7 , 1).

mi è stato suggerito di operare un cambio di variabili del tipo

$ x= (v-7u)/20 $

$ y=(3v-u)/20 $

che non so proprio da dove viene fuori. Al massimo io ero arrivato a dividere in tre il dominio per cercare gli estremi di x e y.

Qualche anima pia che mi fa vedere come si fa il cambiamento di variabile passo passo? Grazie mille!!

[wnvl]

Prima devi cercare una espressione per u e v in x e y.

u = f(x,y)
v = g(x,y)

Poi devi trasformare O, A, B, C

O (f(0,0) , g(0,0))
A (f(1,3) , g(1,3))
B (f(8,4) , g(8,4))
C (f(7,1) , g(7,1))

Poi devi cercare una espressione per il dominio in u e v.

Poi devi sostituire x e y nel integrale.

[zephyr90]

Sono proprio u e v che sto cercando. So quali sono le funzioni ma vorrei capire come ci si arriva a trovarle

[wnvl]

Le funzioni per u e v sono eletti per avere equazioni semplici per OA e OC.

\(\displaystyle u=-3x+y \)
\(\displaystyle v=-x+7y \)

OA: u=0
OC: v=0

Questa scelta facilita la definizione del dominio.