Integrale con calcolo dei residui!
Salve, dovrei calcolare mediante il calcolo dei residui il seguente integrale improprio: [tex]$\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^3}dx$[/tex], che vale [tex]$\frac{2\pi}{9}\sqrt{3}$[/tex]; lo si calcola anche senza l'ausilio del calcolo dei residui.
Passando in variabile complessa, considero la funzione [tex]$\frac{1}{z^3+1}$[/tex] e mi viene indicato come cammino d'integrazione in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] il seguente: [tex]$R\in(1;+\infty),\Gamma_R=\alpha_R+C_R-\beta_R$[/tex]; ove: [tex]$\alpha_R:t\in[0;R]\to t\in\mathbb{C};\,C_R:t\in\bigg[0;\frac{2\pi}{3}\bigg]\to Re^{it}\in\mathbb{C};\,\beta_R:t\in[0;R]\to e^{\frac{2\pi}{3}}t\in\mathbb{C}$[/tex].
Calcolando i punti singolari, ottengo che solo [tex]$w_0=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$[/tex] è interno a [tex]$\Gamma_R$[/tex] ed inoltre esso è un polo semplice; quindi è [tex]$\mathrm{Res(f;w_0)}=\lim_{z\to w_0}\frac{z-w_0}{z^3+1}=\frac{1}{\big(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}+1\big)\big(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\big)}=\hdots=\frac{-i\sqrt{3}(3-i\sqrt{3})}{18}$[/tex].
Mediante il lemma di Jordan ottengo che [tex]$\lim_{R\to+\infty}\int_{C_R}\frac{1}{z^3+1}dz=0$[/tex]!
Poi come procedo? O meglio, procedo ma non calcolo l'integrale che mi serve!
Grazie a chiunque voglia aiutarmi.
EDIT: Quanto non mi sopporto a causa degli errori grammaticali! -_-
Passando in variabile complessa, considero la funzione [tex]$\frac{1}{z^3+1}$[/tex] e mi viene indicato come cammino d'integrazione in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] il seguente: [tex]$R\in(1;+\infty),\Gamma_R=\alpha_R+C_R-\beta_R$[/tex]; ove: [tex]$\alpha_R:t\in[0;R]\to t\in\mathbb{C};\,C_R:t\in\bigg[0;\frac{2\pi}{3}\bigg]\to Re^{it}\in\mathbb{C};\,\beta_R:t\in[0;R]\to e^{\frac{2\pi}{3}}t\in\mathbb{C}$[/tex].
Calcolando i punti singolari, ottengo che solo [tex]$w_0=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$[/tex] è interno a [tex]$\Gamma_R$[/tex] ed inoltre esso è un polo semplice; quindi è [tex]$\mathrm{Res(f;w_0)}=\lim_{z\to w_0}\frac{z-w_0}{z^3+1}=\frac{1}{\big(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}+1\big)\big(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\big)}=\hdots=\frac{-i\sqrt{3}(3-i\sqrt{3})}{18}$[/tex].
Mediante il lemma di Jordan ottengo che [tex]$\lim_{R\to+\infty}\int_{C_R}\frac{1}{z^3+1}dz=0$[/tex]!
Poi come procedo? O meglio, procedo ma non calcolo l'integrale che mi serve!
Grazie a chiunque voglia aiutarmi.
EDIT: Quanto non mi sopporto a causa degli errori grammaticali! -_-
Risposte
Se [tex]\mathbb C \ni z \mapsto f(z) := 1/(1+z^3) \in \mathbb C[/tex], hai ottenuto che
[tex]\lim_{R \to +\infty} \int_{\Gamma_R} f(z) \,dz = \lim_{R \to +\infty} (\int_{\alpha_R} f(z) \,dz - \int_{\beta_R} f(z) \,dz) = 2\pi i \mathrm{Res(f,w_0)}[/tex]
Ora basta notare che
[tex]\int_{\beta_R} f(z) \,dz= \int_0^R f(\beta_R(t)) \beta_R'(t) \,dt = e^{{2\pi i}/{3}} \int_0^R \frac{dt}{1+t^3}[/tex]
Quindi se [tex]I = \int_0^{+\infty} f(x) dx[/tex], hai ottenuto che
[tex](1-e^{{2\pi i}/{3}})I = 2\pi i \mathrm{Res(f,w_0)}[/tex]
da cui ricavi $I = \frac{2\pi}{9}\sqrt{3}$
[tex]\lim_{R \to +\infty} \int_{\Gamma_R} f(z) \,dz = \lim_{R \to +\infty} (\int_{\alpha_R} f(z) \,dz - \int_{\beta_R} f(z) \,dz) = 2\pi i \mathrm{Res(f,w_0)}[/tex]
Ora basta notare che
[tex]\int_{\beta_R} f(z) \,dz= \int_0^R f(\beta_R(t)) \beta_R'(t) \,dt = e^{{2\pi i}/{3}} \int_0^R \frac{dt}{1+t^3}[/tex]
Quindi se [tex]I = \int_0^{+\infty} f(x) dx[/tex], hai ottenuto che
[tex](1-e^{{2\pi i}/{3}})I = 2\pi i \mathrm{Res(f,w_0)}[/tex]
da cui ricavi $I = \frac{2\pi}{9}\sqrt{3}$
In effetti... avrò sbagliato qualche passaggio, in quanto tu "ti trovi" ed io no!
Posterò un altro integrale che non mi riesce più tardi; chissà cosa avrò combinato!
Grazie rbtqwt!
P.S.: I conti sono delle brutte bestie da pascolare.
Posterò un altro integrale che non mi riesce più tardi; chissà cosa avrò combinato!
Grazie rbtqwt!
P.S.: I conti sono delle brutte bestie da pascolare.
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