Integrale con asintoticità
Salve ragazzi!! Mi è capitato ieri in esame quest'esercizio:
$ int_(1)^(+oo)[(x^a)/(1+1/(x^2))*arctan(1/x)] dx $
calcolare quando, a variare del parametro a (alpha) l'integrale converge.
Poi posto a=-2 calcolare l'integrale.
Detto questo, so che bisogna trovare alpha tramite l'asintoticità, che l'arcotangente è asintotito all'argomento se questo tende a zero, ma l'asintoticità del denominatore??
Mi potete dare una mano per risolvere quest'esercizio??
$ int_(1)^(+oo)[(x^a)/(1+1/(x^2))*arctan(1/x)] dx $
calcolare quando, a variare del parametro a (alpha) l'integrale converge.
Poi posto a=-2 calcolare l'integrale.
Detto questo, so che bisogna trovare alpha tramite l'asintoticità, che l'arcotangente è asintotito all'argomento se questo tende a zero, ma l'asintoticità del denominatore??
Mi potete dare una mano per risolvere quest'esercizio??
Risposte
L'unico punto "critico " da esaminare è l'intorno di $+00 $.
La funzione integranda la puoi riscrivere così $x^alpha *x^2*arctg(1/x)/(x^2+1)$ . Come hai detto se l'argomento della funzione arctg tende a 0 allora l'arctg è asintotico all'argomento stesso; quindi se $x rarr +00 $ allora $1/xrarr 0 $ e quindi $arctg(1/x) $ è asintotico a $ 1/x $.
Metti insieme tutte queste considerazioni e vedi a cosa è asintotica la funzione integranda quando $ x rarr +00 $.
La funzione integranda la puoi riscrivere così $x^alpha *x^2*arctg(1/x)/(x^2+1)$ . Come hai detto se l'argomento della funzione arctg tende a 0 allora l'arctg è asintotico all'argomento stesso; quindi se $x rarr +00 $ allora $1/xrarr 0 $ e quindi $arctg(1/x) $ è asintotico a $ 1/x $.
Metti insieme tutte queste considerazioni e vedi a cosa è asintotica la funzione integranda quando $ x rarr +00 $.
Giusto per sapere...l'idea che il denominatore $(1+1/x^2)$ sia asintotico a $1/x^2$ è intrramente sbagliata giusto?
Sbagliata , ho fatto semplicemente$ 1/(1+1/(x^2) )=1/((1+x^2)/x^2 )=x^2/(1+x^2) $
grazie mille per la risposta.
magari al posto di aprire un altro topic scrivo direttamente qua allora:
gli altri due dei 4 esercizi su cui ho avuto dubbi sono lo studio di funzione e la sere.
partiamo dalla serie:
$ sum (-1)^n * [sin (3*n^3)]^4/(n^3+n^(1/3) $ (non so perché ci sia la freccetta...!!)
la domanda è: trovare il carattere della serie.
io vedendo il segno alterno ho pensato a Leibnitz (o come si scrive
). è a segni alterni, è decrescente (l'ho dimostrato confrontando $ a (n) < a (n+1) $, ed è infinitesimo (mi son basato sul fatto che l'ordine del $ (sin n) ^ 4 $ è minore di $n^3$ giusto?
in questo caso, è SOLO semplicemente convergente o devo dimostrare se è anche assolutamente convergente?
per lo studio di funzione (è un pò più lungo da fare):
la funzione f(x) è :
$ [(x+1)^(1/3)]/[ln(x+1)]^3) per x != -1 $
$ 0 per x = -1 $
per la prima parte tutto semplice, dominio $ x > -1 $, studio del segno per $ x < 0 $ la funzione è negativa, per $ x > 0 $ la funzione è positiva, a zero non c'arriva.
$ lim_(x -> 0+) f(x) = +oo$
$ lim_(x -> 0-) f(x) = -oo$
$ lim_(x -> +oo) f(x) = 0$ (su questo non ne son tanto sicuro)
il problema è nella derivata della funzione: provandola a fare mi viene questa, ma so già che è sbagliata (altrimenti lo studio del segno di questa, per vedere la monotonia, è sbagliato):
$ {(1/3)*(x+1) ^ (-2/3) * [ln(x+1)]^3 - 3*[ln(x+1)]^2 * (1/(1+x)) * (1+x) ^ (1/3)} / [ln(x+1)]^5 $
di questa ho raccolto il $ (1/(1+x)) * (1+x) ^ (1/3) $, che diventa $(x+1) ^ (-2/3)$, così da poterlo raccogliere con il primo membro del numeratore, e diventa:
${(x+1) ^ (-2/3) * { 1/3 * [ ln(x+1) ]^3 - 3 * [ ln(x+1) ]^2 }}/ [ln(x+1)]^5$
solo che sfortunatamente è sbagliata, o comunque non riesco a farne lo studio del segno...!!
riesci a darmi una mano su sti due esercizi??
magari al posto di aprire un altro topic scrivo direttamente qua allora:
gli altri due dei 4 esercizi su cui ho avuto dubbi sono lo studio di funzione e la sere.
partiamo dalla serie:
$ sum (-1)^n * [sin (3*n^3)]^4/(n^3+n^(1/3) $ (non so perché ci sia la freccetta...!!)
la domanda è: trovare il carattere della serie.
io vedendo il segno alterno ho pensato a Leibnitz (o come si scrive
). è a segni alterni, è decrescente (l'ho dimostrato confrontando $ a (n) < a (n+1) $, ed è infinitesimo (mi son basato sul fatto che l'ordine del $ (sin n) ^ 4 $ è minore di $n^3$ giusto?in questo caso, è SOLO semplicemente convergente o devo dimostrare se è anche assolutamente convergente?
per lo studio di funzione (è un pò più lungo da fare):
la funzione f(x) è :
$ [(x+1)^(1/3)]/[ln(x+1)]^3) per x != -1 $
$ 0 per x = -1 $
per la prima parte tutto semplice, dominio $ x > -1 $, studio del segno per $ x < 0 $ la funzione è negativa, per $ x > 0 $ la funzione è positiva, a zero non c'arriva.
$ lim_(x -> 0+) f(x) = +oo$
$ lim_(x -> 0-) f(x) = -oo$
$ lim_(x -> +oo) f(x) = 0$ (su questo non ne son tanto sicuro)
il problema è nella derivata della funzione: provandola a fare mi viene questa, ma so già che è sbagliata (altrimenti lo studio del segno di questa, per vedere la monotonia, è sbagliato):
$ {(1/3)*(x+1) ^ (-2/3) * [ln(x+1)]^3 - 3*[ln(x+1)]^2 * (1/(1+x)) * (1+x) ^ (1/3)} / [ln(x+1)]^5 $
di questa ho raccolto il $ (1/(1+x)) * (1+x) ^ (1/3) $, che diventa $(x+1) ^ (-2/3)$, così da poterlo raccogliere con il primo membro del numeratore, e diventa:
${(x+1) ^ (-2/3) * { 1/3 * [ ln(x+1) ]^3 - 3 * [ ln(x+1) ]^2 }}/ [ln(x+1)]^5$
solo che sfortunatamente è sbagliata, o comunque non riesco a farne lo studio del segno...!!
riesci a darmi una mano su sti due esercizi??
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