Integrale con arctan

[Illyria1]

Ciao avrei bisogno di una mano per risolvere il seguente integrale: $ int_(0)^(2) arctan (x)/(x+1)^2 dx $
Ho provato a sostituire
$ (x+1)^2=t^2 $
$ x=t-1 $
$ dx=dt $

quindi diventa:
$ int_(1)^(3) arctan(t-1)/t dt $
Ottenuto questo procedo per parti quindi:
$ log(t) arctan(t-1)-(int_(1)^(3)log(t) 1/((t-1)^2+1))dt $

A questo punto mi blocco e non so piu come andare avanti. Probabilmente la mia sostituzione non è giusta e non so come procedere sono due giorni che ci sbatto la testa.

Ringrazio anticipatamente a chiunque risponda..

Illyria

[asker993]

così ad occhio è per parti, non fare nessuna sostituzione, parti subito ad integrare per parti e fai in modo di derivare l'$arctg$ che diventa $1/(x^(2)+1)$ e integra la parte al denominatore...non è molto difficile in fondo

edit: ricorda che la sostituzione può anche peggiorare i calcoli

[Illyria1]

Grazie per la risposta.. allora se faccio come suggerisci tu ottengo:
$ - 1/(x+1)arctan (x)+ int_(0)^(2) 1/((x+1)(x^2+1)) dx $
procedo ancora per parti ma mi impapino su:
$ int_(0)^(2) log(x+1) (-(2x)/(x^2+1)) dx $

Penso di star andando nella direzione sbagliata..

[asker993]

arrivata qua $ - 1/(x+1)arctan (x)+ int_(0)^(2) 1/((x+1)(x^2+1)) dx $ utilizza il metodo dei fratti semplici...lo conosci?

[iH8u]

In realtà a me verrebbe così:

$ int_()^() -1/((x^2+1)(x+1) dx $

Procedi poi con le regole della integrazione di funzioni razionali..

[Illyria1]

No quel metodo che dici tu non lo conosco..

[asker993]

@iH8u: controlla meglio, ti sei perso un $-$...dato che $int 1/(x+1)^2=-1/(x+1)$.

@Illyria: adesso non so se il tuo professore te li ha mai spiegati o li ritiene come conosciuti, in ogni caso sono non dico fondamentali ma molto utili in moltissime occasioni del calcolo degli integrali...dunque ti consiglio di andarti a vedere come funzionano e fai qualche esercizio semplice all'inizio e poi vedrai che questo sarà un giochetto
non te li posso spiegare qua dato che capiresti come funzionano in questo esercizio ma non negli altri...

[iH8u]

Se non ti è chiaro qualche passaggio (sempre che sia giusto il mio svolgimento) chiedi pure, proverò a spiegare.

$ int (tan^(-1)(x))/(x-1)^2 dx = (tan^(-1)(x))/(x-1) - int -1/((x-1) (x^2+1)) dx $

$ = -(tan^(-1)(x))/(x-1) + int 1/((x-1) (x^2+1)) dx $

$ = -(tan^(-1)(x))/(x-1) + int ((-x-1)/(2 (x^2+1))+1/(2 (x-1))) dx $

$ = -(tan^(-1)(x))/(x-1)+1/2 int (-x-1)/(x^2+1) dx +1/2 int 1/(x-1) dx $

$ = -(tan^(-1)(x))/(x-1) + 1/2 int (-x/(x^2+1)-1/(x^2+1)) dx+1/2 int 1/(x-1) dx $

$ = -(tan^(-1)(x))/(x-1) + -1/2 int 1/(x^2+1) dx-1/2 int x/(x^2+1) dx+1/2 int 1/(x-1) dx $

$ = ((x-1) (2 log(x-1)-log(x^2+1))-2 (x+1) tan^(-1)(x))/(4 (x-1)) $

$ = 1/4 (-log(x^2+1)+2 log(1-x)-(2 (x+1) tan^(-1)(x))/(x-1)) $