Integrale complesso con singolarità soltanto in -j
$int_(-oo)^(+oo) (senx)/(x+j) dx$
perchè in questo integrale (che ho trovato svolto), non si integra semplicemente nel semipiano superiore ma separatamente in entrambi?. in effetti nel semip superiore da zero. come è la regola generale? se cè una singolarità solo nel semip. inferiore si fa il percorso di integrazione (semicerchio) su questo?
perchè in questo integrale (che ho trovato svolto), non si integra semplicemente nel semipiano superiore ma separatamente in entrambi?. in effetti nel semip superiore da zero. come è la regola generale? se cè una singolarità solo nel semip. inferiore si fa il percorso di integrazione (semicerchio) su questo?
Risposte
non esiste una regola generale!!!!
il percorso di integrazione devi sceglierlo in base alle singolarità isolate e alle diramazioni della funzione....e soprattutto in modo da semplificarti la vita!!!
in questo caso sai che se prendi il semicerchio superiore l'integrale sarà nullo per il teorema di Cauchy!!
quindi dovrai integrare lungo il semicerchio inferiore per poter utilizzare il teorema dei residui (o quello che preferisci)
il percorso di integrazione devi sceglierlo in base alle singolarità isolate e alle diramazioni della funzione....e soprattutto in modo da semplificarti la vita!!!
in questo caso sai che se prendi il semicerchio superiore l'integrale sarà nullo per il teorema di Cauchy!!
quindi dovrai integrare lungo il semicerchio inferiore per poter utilizzare il teorema dei residui (o quello che preferisci)
La funzione da integrare può essere scritta nel seguente modo…
$(sin x)/(x+j)= (x*sin x)/(1+x^2) –j* (sin x)/(1+x^2)$ (1)
Osservando la (1) si nota che il termine immaginario è una funzione dispari in $x$ e pertanto il suo contributo all’integrale sarà nullo. Di conseguenza è…
$int_(-oo)^(+oo) (sin x)/(x+j)*dx= int_(-oo)^(+oo) (x*sin x)/(1+x^2)*dx$ (1)
… in cui l’integrale può essere risolto in maniera ‘standard’…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$(sin x)/(x+j)= (x*sin x)/(1+x^2) –j* (sin x)/(1+x^2)$ (1)
Osservando la (1) si nota che il termine immaginario è una funzione dispari in $x$ e pertanto il suo contributo all’integrale sarà nullo. Di conseguenza è…
$int_(-oo)^(+oo) (sin x)/(x+j)*dx= int_(-oo)^(+oo) (x*sin x)/(1+x^2)*dx$ (1)
… in cui l’integrale può essere risolto in maniera ‘standard’…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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