Integrale complesso con Gamma di Eulero
Salve, ho davvero bisogno di capire come svolgere questo integrale, sono giorni che ci provo ma non ho soluzione.
In pratica devo dimostrare che:
$ int sinx/x^(1/3) = 1/2 Gamma(2/3) $
L'integrale è definito tra 0 e infinito.
Ci viene consigliato di integrale tale funzione in un dominio del tipo $ r < |z| < R , 0 < arg(z) < pi/2 $
Come svolgerlo? Non capisco come mai non venga 0 dato che non ho nessun polo, ma solo una radice cubica che quindi rappresenta 3 punti di diramazione, quindi cosa fare? Ovviamente porto prima la funzione reale, in campo complesso $ e^(iz)/z^(1/3) $
Nella corona data da due circonferenze, quella di raggio più piccolo r e quella di raggio più grande R... quindi scompongo l'integrale in tre parti: da r ad R, sulla curva YR e sulla curva -Yr ...
Solo che non ho capito come continuare...
ps: forse non si vede bene, ma la x al denominatore è elevata ad 1/3.
In pratica devo dimostrare che:
$ int sinx/x^(1/3) = 1/2 Gamma(2/3) $
L'integrale è definito tra 0 e infinito.
Ci viene consigliato di integrale tale funzione in un dominio del tipo $ r < |z| < R , 0 < arg(z) < pi/2 $
Come svolgerlo? Non capisco come mai non venga 0 dato che non ho nessun polo, ma solo una radice cubica che quindi rappresenta 3 punti di diramazione, quindi cosa fare? Ovviamente porto prima la funzione reale, in campo complesso $ e^(iz)/z^(1/3) $
Nella corona data da due circonferenze, quella di raggio più piccolo r e quella di raggio più grande R... quindi scompongo l'integrale in tre parti: da r ad R, sulla curva YR e sulla curva -Yr ...
Solo che non ho capito come continuare...
ps: forse non si vede bene, ma la x al denominatore è elevata ad 1/3.
Risposte
Non mi pare che sia quello il risultato dell'integrale... Probabilmente hai dimenticato un \(\sqrt{3}\)?
Per il resto.
Chiaramente, l'integrale sul bordo del settore di corona viene zero (come noti giustamente tu) e però può darsi che tu riesca a calcolare il valore dell'integrale facendo bene i conti ed usando l'uguaglianza a zero come un'equazione da risolvere rispetto alla quantità che ti interessa.
Prova a fare i conti.
Intanto vedo un po' pure io che ne tiro fuori.
Per il resto.
Chiaramente, l'integrale sul bordo del settore di corona viene zero (come noti giustamente tu) e però può darsi che tu riesca a calcolare il valore dell'integrale facendo bene i conti ed usando l'uguaglianza a zero come un'equazione da risolvere rispetto alla quantità che ti interessa.
Prova a fare i conti.
Intanto vedo un po' pure io che ne tiro fuori.
Hai ragione mi scuso, c'è anche un $ sqrt(3) $
In pratica dovrei prima di tutto capire dove integrare, sono tre curve giusto? Quella che va da r ad R, la curva di raggio R e quella di raggio r, quest'ultima percorsa in senso antiorario...
Forse dovrei aggiungere anche il tratto sul piano complesso, ma non ne sono sicuro... Il tratto che chiamerei da iR a ir.. Non so se è giusto...
Detto questo credo bisogni utilizzare i lemmi del grande cerchio e del piccolo cerchio, il problema è non so come dimostrare il risultato...
Non capita solo con questo integrale, in genere non so perché nonostante non abbia alcun polo ma solo dei punti di diramazione, l'integrale venga diverso da zero... Scusa se ho scritto in maniera confusionaria ma questo argomento non so applicarlo...
In pratica dovrei prima di tutto capire dove integrare, sono tre curve giusto? Quella che va da r ad R, la curva di raggio R e quella di raggio r, quest'ultima percorsa in senso antiorario...
Forse dovrei aggiungere anche il tratto sul piano complesso, ma non ne sono sicuro... Il tratto che chiamerei da iR a ir.. Non so se è giusto...
Detto questo credo bisogni utilizzare i lemmi del grande cerchio e del piccolo cerchio, il problema è non so come dimostrare il risultato...
Non capita solo con questo integrale, in genere non so perché nonostante non abbia alcun polo ma solo dei punti di diramazione, l'integrale venga diverso da zero... Scusa se ho scritto in maniera confusionaria ma questo argomento non so applicarlo...
Ho provato a svolgere, ma zero...
Tra l'altro non capisco nemmeno che valore abbia la gamma di Eulero in quel punto... So solo impostare il problema, ma non capisco dove andare a parare...
Tra l'altro non capisco nemmeno che valore abbia la gamma di Eulero in quel punto... So solo impostare il problema, ma non capisco dove andare a parare...
"Nasmil":
In pratica dovrei prima di tutto capire dove integrare, sono tre curve giusto? Quella che va da r ad R, la curva di raggio R e quella di raggio r, quest'ultima percorsa in senso antiorario...
Forse dovrei aggiungere anche il tratto sul piano complesso, ma non ne sono sicuro... Il tratto che chiamerei da iR a ir.. Non so se è giusto...
Sì.
"Nasmil":
Detto questo credo bisogni utilizzare i lemmi del grande cerchio e del piccolo cerchio, il problema è non so come dimostrare il risultato...
Certo che devi usare Jordan.
Della dimostrazione poi ne parliamo.
"Nasmil":
Non capita solo con questo integrale, in genere non so perché nonostante non abbia alcun polo ma solo dei punti di diramazione, l'integrale venga diverso da zero... Scusa se ho scritto in maniera confusionaria ma questo argomento non so applicarlo...
Il tuo libro che dice in proposito?
Ci sono esempi di applicazioni dei lemmi di Jordan?
Sì.
Secondo me il tratto iR e ir mi danno un integrale che è molto simile a quello della gamma di Eulero, in più potrei trovare grazie alla presenza della radice cubica il valore $ sqrt(3)/2 + i/2 $ questo perché la radice cubica è data dal modulo della radice moltiplicata a $ e^((i*(arg(z)))/3) $ [EDIT: c'è scritto nell'espressione precedente "i argz / 3 "] in questo caso l'argomento di z è $ pi/2 $ essendo sul ramo $ [iR, ir ] $
Fin qui sono arrivato... Non so se è giusto..
Certo che devi usare Jordan.
Della dimostrazione poi ne parliamo.
A occhio credo che per Jordan e per la presenza di $ e^(iz) $ lungo l'arco di circonferenza più grande l'integrale vada a zero, stessa cosa vale per la circonferenza più piccola...
A dimostrarlo poi non so essere molto bravo..
Il tuo libro che dice in proposito?
Ci sono esempi di applicazioni dei lemmi di Jordan?
Premessa: questo esercizio è un esercizio di esame, corso di metodi matematici per l'ingegneria.
Studio da 3 libri: Barozzi, appunti del professore e questi due sono il mio riferimento, poi c'è il Codegone che mi sembra troppo semplificato per questa materia (nonostante sia per gli studenti di ingegneria) e lo uso solo per cucire meglio alcuni concetti dato che è molto meno astratto rispetto ai primi due.
Nessuno comunque fa esempi su come si risolvono integrali che possiedono punti di diramazione all'orgine o in altri punti, o meglio ci sono integrali simili ma oltre ai punti di diramazione ci sono anche i poli , quindi basta fare il residuo e subito hai il risultato, mentre esempi come questo, dove non ci sono residui, dove hai 3 punti di diramazione, non ce ne sono. (inoltre il Barozzi nel presentare gli esempi è molto pesante secondo me).
Aggiornamento: ho provato a rifare l'integrale ma nada, sempre in questi punti mi blocco.
Nessuno può darmi una mano? Non l'ho ancora risolto... 
Anzitutto ti conviene considerare la funzione $e^{i z}/z^{1/3}$ e poi prendere la parte immaginaria del risultato, altrimenti non puoi dire che il contributo sulla circonferenza è nullo.
La radice cubica assume un solo valore sul cammino $\gamma$ su cui stai integrando e siccome dentro non ci sono singolarità puoi scrivere
$$
0 = \int_\gamma \frac{e^{i z}}{z^{1/3}} d z
$$
Ma siccome l'integrale sul quarto di circonferenza va a $0$ per $R \to \infty$ il membro destro diventa
$$
0 = \int_0^\infty \frac{e^{i x}}{x^{1/3}} d x + \int_\infty^0 \frac{e^{-x}}{ (i x)^{1/3}} i d x = \int_0^\infty \frac{e^{i x}}{x^{1/3}} d x - e^{ i \pi/3 } \int_0^\infty e^{- x} x^{ 2/3 - 1 } d x
$$
Prendendo la parte immaginaria ti viene
$$
\int_0^\infty \frac{\sin x }{ x^{1/3} } = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \Gamma \left( \frac{2}{3} \right)
$$
La radice cubica assume un solo valore sul cammino $\gamma$ su cui stai integrando e siccome dentro non ci sono singolarità puoi scrivere
$$
0 = \int_\gamma \frac{e^{i z}}{z^{1/3}} d z
$$
Ma siccome l'integrale sul quarto di circonferenza va a $0$ per $R \to \infty$ il membro destro diventa
$$
0 = \int_0^\infty \frac{e^{i x}}{x^{1/3}} d x + \int_\infty^0 \frac{e^{-x}}{ (i x)^{1/3}} i d x = \int_0^\infty \frac{e^{i x}}{x^{1/3}} d x - e^{ i \pi/3 } \int_0^\infty e^{- x} x^{ 2/3 - 1 } d x
$$
Prendendo la parte immaginaria ti viene
$$
\int_0^\infty \frac{\sin x }{ x^{1/3} } = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \Gamma \left( \frac{2}{3} \right)
$$
Ciao ti ringrazio. Ho risolto l'integrale...
Mi chiedevo se posso applicare la stessa procedura che hai mostrato usando per questo integrale:
$ int(1-cosx)/x^(3/2) = sqrt(2pi) $ tra 0 e infinito.
Mi chiedevo se posso applicare la stessa procedura che hai mostrato usando per questo integrale:
$ int(1-cosx)/x^(3/2) = sqrt(2pi) $ tra 0 e infinito.
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