Integrale complesso con Cauchy
Ciao ragazzi avrei bisogno di un aiuto.
Devo svolgere il seguente integrale con la formula di cauchy.
$f^(n)(z_0)=(n!)/(2 \pi i)int_\gammaf(z)/(z-z_0)^(n+1)dz$
L'integrale in questione è: $int(1/(z^4-1)dz)$
lungo il cammino $\gamma$ che ha come sostegno $C : |z+i|=1$ percorso in senso antiorario
Io ho ragionato nel seguente modo:
Per prima cosa mi sono disegnato il sostegno C che è una circonferenza di raggio $1$ e centro $-i$ quindi ho un sostegno chiuso e percorso in senso antiorario mi sono riscritto l'integrale come:
$int(1/((z-1)(z+1)(z^2+1))dz)$
A questo punto ho scelto $f(z)=1/((z+1)(z^2+1))$ che è una funzione analitica nel piano complesso tranne nei punti $z=-1 , z=+-i$
A questo punto posso applicare CAUCHY?
Lo chiedo perchè dal teorema capisco che si può applicare quando la funzione è analitica all'interno del sostegno confine incluso. In questo caso non dovrebbe esserlo.
Devo svolgere il seguente integrale con la formula di cauchy.
$f^(n)(z_0)=(n!)/(2 \pi i)int_\gammaf(z)/(z-z_0)^(n+1)dz$
L'integrale in questione è: $int(1/(z^4-1)dz)$
lungo il cammino $\gamma$ che ha come sostegno $C : |z+i|=1$ percorso in senso antiorario
Io ho ragionato nel seguente modo:
Per prima cosa mi sono disegnato il sostegno C che è una circonferenza di raggio $1$ e centro $-i$ quindi ho un sostegno chiuso e percorso in senso antiorario mi sono riscritto l'integrale come:
$int(1/((z-1)(z+1)(z^2+1))dz)$
A questo punto ho scelto $f(z)=1/((z+1)(z^2+1))$ che è una funzione analitica nel piano complesso tranne nei punti $z=-1 , z=+-i$
A questo punto posso applicare CAUCHY?
Lo chiedo perchè dal teorema capisco che si può applicare quando la funzione è analitica all'interno del sostegno confine incluso. In questo caso non dovrebbe esserlo.
Risposte
prova a spezzare l'integrale in quattro
$1/(z^4-1)=A/(z-1)+B/(z+1)+C/(z-i)+D/(z+i)$ ti ricavi A,B,C,D e poi dividi l'integrale in quattro integrali ad ognuno dei quali applichi Cauchy
$1/(z^4-1)=A/(z-1)+B/(z+1)+C/(z-i)+D/(z+i)$ ti ricavi A,B,C,D e poi dividi l'integrale in quattro integrali ad ognuno dei quali applichi Cauchy
"baldo89":
prova a spezzare l'integrale in quattro
$1/(z^4-1)=A/(z-1)+B/(z+1)+C/(z-i)+D/(z+i)$ ti ricavi A,B,C,D e poi dividi l'integrale in quattro integrali ad ognuno dei quali applichi Cauchy
Ho praovato a fare come dici tu ma mi sono ritrovato:
$A=1/4$
$B=-1/4$
$C=i/4$
$D=-i/4$
Poi applicando uno ad uno Cauchy mi va via tutto e il risultato mi da zero? Cosa ho sbagliato? So che deve fare $pi/2$
Credo di aver capito cosa sbagliavo, mi basta scegliere $f(z)=1/((z-1)(z+1)(z-i))$ in modo che sia olomorfa nel cerchio e abbia $z_0$ contenuto nel cerchio.
Applicando così cauchy ho rispettato le ipotesi del teorema e ottengo come risultato $pi/2$
Invece in questo integrale:
$f(z)=e^z/((z-3i)(z^2+2z+2))$ da integgrare in dz lungo la curva percorsa in senso antiorriio $x^2/9+y^2/4=1$
non credo sia possibile applicare la formula di cauchy per la non analiticità e devo quindi ripiegare sui residui!
Ho detto delle cose corrette?
Applicando così cauchy ho rispettato le ipotesi del teorema e ottengo come risultato $pi/2$
Invece in questo integrale:
$f(z)=e^z/((z-3i)(z^2+2z+2))$ da integgrare in dz lungo la curva percorsa in senso antiorriio $x^2/9+y^2/4=1$
non credo sia possibile applicare la formula di cauchy per la non analiticità e devo quindi ripiegare sui residui!
Ho detto delle cose corrette?
Nessuno ragazzi?
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