Integrale complesso
Salve a tutti, mi trovo in difficoltà con il calcolo del seguente integrale:
$ int_(-oo )^(oo) sin(x)/(x^3+i) dx $
La mia idea era di utilizzare il teorema del residuo, ma non so come impostare il problema. Ho provato a vedere se vale la condizione :
$ lim_(z->oo)f(z)*z = 0 $
ma non è il caso...e non so proprio come muovermi. Se qualcuno ha qualche dritta mi farebbe un gran favore.
$ int_(-oo )^(oo) sin(x)/(x^3+i) dx $
La mia idea era di utilizzare il teorema del residuo, ma non so come impostare il problema. Ho provato a vedere se vale la condizione :
$ lim_(z->oo)f(z)*z = 0 $
ma non è il caso...e non so proprio come muovermi. Se qualcuno ha qualche dritta mi farebbe un gran favore.
Risposte
Inizia ad analizzare se quell'integrale esiste (cioè verifica se l'integranda è sommabile). Se è sommabile (e quindi l'integrale esiste finito) puoi continuare, se non lo è hai finito perchè l'integrale diverge. Per avere un'idea dei passaggi per risolvere in modo "sistematico" un integrale complesso vedi questo mio post. Ovviamente ogni integrale ha "una storia" a sè quindi i passaggi andranno adattati però quelle sono le linee guida
Ciao SuperMath,
Per convergere, converge.
Personalmente proverei con la funzione $ f(z) := \frac{e^{iz}}{z^3 + i} $
Per convergere, converge.
Personalmente proverei con la funzione $ f(z) := \frac{e^{iz}}{z^3 + i} $
Vi ringrazio.
Ancora non capisco una cosa: perché posso sostituire al seno l'esponenziale?grazie
Ancora non capisco una cosa: perché posso sostituire al seno l'esponenziale?grazie
"SuperMath":
perché posso sostituire al seno l'esponenziale?grazie
Non è una vera e propria "sostituzione" ma un estensione della funzione reale \(\displaystyle f(x) \) al campo dei complessi. Questa estensione deriva dalla relazione di Eulero, infatti sappiamo che :
\(\displaystyle e^{iz} = cos(z) + i\;sen(z) \)
di conseguenza, quando effettuiamo l'estensione, stiamo di fatto considerando che \(\displaystyle sen(z) = I_m(e^{iz}) \) e questo comporta il fatto che la soluzione dell'integrale reale sarà soltanto la parte immaginaria della soluzione dell'integrale complesso ottenuto come estensione di \(\displaystyle f(x) \).
Nel caso in cui \(\displaystyle f(x) \) avesse avuto il termine \(\displaystyle cos(x) \) (invece di \(\displaystyle sen(x) \)) avresti potuto fare la stessa estensione con \(\displaystyle e^{iz} \) tuttavia essendo \(\displaystyle cos(z) = R_e(e^{iz}) \), in tal caso avresti dovuto considerare soltanto la parte reale della soluzione.
Per chiarire (spero) buona parte dei tuoi dubbi ti invito nuovamente a leggere il post che ti ho linkato prima (magari tutta la discussione perchè sono saltate fuori cose interessanti). Se hai problemi nel comprendere qualche passaggio (dell'esercizio che hai proposto) chiedi tranquillamente (magari scrivendo anche i passaggi che hai fatto per arrivare a quel punto). Non ti scrivo il procedimento completo perchè questo andrebbe contro l'utilità dei forum e non ti aiuterebbe a comprendere quello che stai facendo
Ti ringrazio, in realtà integrali nella forma :
$ int_(-oo)^(oo) e^(ix)/(x^3+i)dx $
dovrei saperli risolvere. Ora direi che lo risolvo e posto la soluzione, così mi dici come ti sembra! Grazie
$ int_(-oo)^(oo) e^(ix)/(x^3+i)dx $
dovrei saperli risolvere. Ora direi che lo risolvo e posto la soluzione, così mi dici come ti sembra! Grazie
In ordine i passaggi :
1) Considero la funzione :
$ e^(iz)/(z^3+i $
Per il lemma di Jordan si ha che : $ int_(-oo)^(oo) dx e^(ix)/(x^3+i) = 2pi i*sumRes(f, aj) $
essendo ogni aj i punti singolari di f nel semipiano superiore.
2) $ 2pii*Res(f,i)=2pii*lim_(z->i)e^(iz)/((z-e^(7/6pi))*(z-e^(11/6pi)) $
3)Faccio i conti sostituendo alla z il valore i. Alla fine otterrò un numero complesso e di tale numero devo considerare solo il coefficiente della parte immaginaria. Io ottengo :
$ -12/13pi/e $
Al di là dei conti, il procedimento è corretto?Avrei ancora un dubbio : perché, utilizzando la funzione da te suggerita, io poi ho la certezza che l'integrale che mi interessa è il coefficiente della parte immaginaria del risultato dell'integrale?
1) Considero la funzione :
$ e^(iz)/(z^3+i $
Per il lemma di Jordan si ha che : $ int_(-oo)^(oo) dx e^(ix)/(x^3+i) = 2pi i*sumRes(f, aj) $
essendo ogni aj i punti singolari di f nel semipiano superiore.
2) $ 2pii*Res(f,i)=2pii*lim_(z->i)e^(iz)/((z-e^(7/6pi))*(z-e^(11/6pi)) $
3)Faccio i conti sostituendo alla z il valore i. Alla fine otterrò un numero complesso e di tale numero devo considerare solo il coefficiente della parte immaginaria. Io ottengo :
$ -12/13pi/e $
Al di là dei conti, il procedimento è corretto?Avrei ancora un dubbio : perché, utilizzando la funzione da te suggerita, io poi ho la certezza che l'integrale che mi interessa è il coefficiente della parte immaginaria del risultato dell'integrale?
"SuperMath":
Al di là dei conti, il procedimento è corretto?Avrei ancora un dubbio : perché, utilizzando la funzione da te suggerita, io poi ho la certezza che l'integrale che mi interessa è il coefficiente della parte immaginaria del risultato dell'integrale?
No aspetta..io non ti ho suggerito di utilizzare quell'estensione..infatti aspettavo che @pilloeffe rispondesse per dare qualche dettaglio in più sul perchè si deve usare quella..ma ti annuncio già che è sbagliato procedere così..
Facciamo un pò di chiarezza..l'estensione di una funzione reale al campo complesso va fatta (di volta in volta) con una certa logica e dipende strettamente dal dominio di integrazione, quindi un tipo di estensione effettuata su un certo tipo di insieme non va bene in generale ma solo per quella tipologia di integrali! Per quanto riguarda le funzioni trigonometriche ci sono (principalmente) tre tipi di integrali :
\(\displaystyle 1) \;\;\int_{0}^{\infty} f(x) dx \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3) \int_{0}^{2\pi} f(x) dx\)
e ognuno di questi va esteso in campo complesso in modo differente (anche se nessuno vieta di utilizzare per tutti e tre la rappresentazione esponenziale delle funzioni trigonometriche, ma in quel caso bisogna sapere con certezza quello che si sta facendo..) :
[*:2rer6rxc] per il tipo \(\displaystyle 1) \) usualmente si adotta l'estensione con \(\displaystyle e^{iz} \) e successivamente si considera solo la parte reale (immaginaria) della soluzione nel caso in cui estendi il coseno (seno). La soluzione è sicuramente quella perchè stai semplicemente risolvendo un integrale in campo complesso (quindi ottieni un numero complesso con parte reale e immaginaria) e per confronto (dividendo l'integrale complesso in parte reale e parte immaginaria) trovi quel risultato. Detta così è un pò ostica la questione, se non è chiara possiamo tornarci.
[/*:2rer6rxc]
[*:2rer6rxc] per il tipo \(\displaystyle 2) \) la situazione è un pò più complessa (è il caso del tuo integrale). Infatti, essendo esteso tra \(\displaystyle ]-\infty,+\infty[ \) non puoi limitarti ad analizzare solo la semicirconferenza tale che \(\displaystyle I_m(z) \ge 0 \) perchè così andresti ad escludere dei contributi all'integrale e di conseguenza ottieni una soluzione sbagliata. In tal caso bisogna osservare se \(\displaystyle f(x) \) è pari/dispari perchè (per la simmetria) avresti che :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 2 \int_{0}^{+\infty} f(x) dx \)
e quindi ritorni al caso \(\displaystyle 1) \). Se invece \(\displaystyle f(x) \) non è nè pari nè dispari (come in questo caso) non puoi estendere in quel modo..Bisogna utilizzare la forma esponenziale classica delle funzioni trigonometriche. Tra un pò vediamo cosa si intende.
[/*:2rer6rxc]
[*:2rer6rxc]per il tipo \(\displaystyle 3) \) invece, essendo l'integrale in \(\displaystyle (0,2\pi) \) si considera la circonferenza goniometrica e si usano le estensioni :
\(\displaystyle cos(x) = \frac{z+z^{-1}}{2} \;\;\;\;\;\;\;\; sin(x) = \frac{z-z^{-1}}{2i} \;\;\;\;\;\;\;\; dx = -i\;z^{-1} dz \)
[/*:2rer6rxc]
[/list:u:2rer6rxc]
Torniamo al tuo esercizio..innanzitutto vediamo se l'integrale è sommabile. Questo passo potrebbe anche essere saltato perchè se sei in sede di esame molto probabilmente l'integrale non sarà divergente (non avrebbe senso) però è sempre bene far vedere che si sa piuttosto che lasciare il tutto al caso..Essendo :
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left| \frac{sin(x)}{x^3+i} \right| \sim \lim_{x \to \infty} \left| \frac{1}{x^3}\right| = 0 \)
cioè per \(\displaystyle x \to \infty \) si ha che \(\displaystyle f(x) \) è un infinitesimo di ordine \(\displaystyle 3 \geq 1 \) quindi è sommabile e di conseguenza l'integrale esiste finito (converge). Adesso vediamo se abbiamo qualche tipo di simmetria (anche se abbiamo già detto prima che non ne ha..) quindi :
\(\displaystyle f(-x) = \frac{sin(-x)}{(-x)^3+i} = - \frac{sin(x)}{-x^3+i} \neq \{ f(x) \;or\; -f(x) \} \)
non abbiamo nessuna simmetria quindi decidiamo di estendere \(\displaystyle f(x) \) in campo complesso con :
\(\displaystyle f(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i(z^3+i)} \)
risolvendo \(\displaystyle z^3+i=0 \) con la formula di De Moivre si ha :
\(\displaystyle z^3 = -i = cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) + i \; sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) \)
\(\displaystyle \rightarrow \; z = cos\left(\frac{\frac{3}{2}\pi + 2k\pi}{3}\right) + i \; sin\left(\frac{\frac{3}{2}\pi + 2k\pi}{3}\right) \;\;\;\;\;\;\;\; k=0,1,2\)
da cui si hanno :
\(\displaystyle z_0 = i \;\;\;\;\;\;\;\; z_1= - \frac{\sqrt{3}}{2} - i \;\frac{1}{2} \;\;\;\;\;\;\;\; z_2= \frac{\sqrt{3}}{2} - i\;\frac{1}{2}\)
quindi \(\displaystyle f(z) \) è definita in :
\(\displaystyle \mathbb{C} - \left\{i \;,\; \pm \frac{\sqrt{3}}{2} - i \;\frac{1}{2} \right\} \)
classificando i poli (da fare sempre!) si vede che sono poli semplici per \(\displaystyle f(z) \). A questo punto (in base all'estensione fatta in campo complesso) possiamo scrivere :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{sin(x)}{x^3+i} dx = v.p. \; \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i(z^3+i)} dz = \frac{1}{2i} \left( v.p. \; \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iz}}{z^3+i} dz - \;v.p. \;\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-iz}}{z^3+i} dz \right) \)
quindi si tratta di risolvere quei due integrali (in v.p. = valore principale). Adesso l'esercizio è ben impostato e puoi continuare da solo (attendo i tuoi risultati). Prima di procedere con i calcoli ti chiedo una cosa fondamentale : risolvendo i due integrali separatamente, quale percorso di integrazione sceglieresti (sulla base di quanto scritto finora) ?
Ti ringrazio per il post molto dettagliato.
Ti rispondo sinteticamente subito e poi con più calma stasera, quando avrò tempo di studiare bene la cosa...a occhio utilizzerei la semicirconferenza nel semipiano Im(z)>0 , visto che abbiamo un solo polo in quel semipiano e che non ci sono punti singolari sull'asse x
Ti rispondo sinteticamente subito e poi con più calma stasera, quando avrò tempo di studiare bene la cosa...a occhio utilizzerei la semicirconferenza nel semipiano Im(z)>0 , visto che abbiamo un solo polo in quel semipiano e che non ci sono punti singolari sull'asse x
"SuperMath":
a occhio utilizzerei la semicirconferenza nel semipiano Im(z)>0 , visto che abbiamo un solo polo in quel semipiano e che non ci sono punti singolari sull'asse x
Quasi
sinceramente non capisco perchè dici di voler prendere solo la semicirconferenza superiore..perchè hai un solo polo e quindi devi calcolare soltanto un residuo? no! I contributi vanno considerati tutti! E poi se ci fai caso, considerando per entrambi la semicirconferenza superiore vedi che il secondo integrale dovrebbe fare \(\displaystyle 0 \) e quindi ritorni sulla risoluzione dell'esercizio come proposto da @pilloeffe e ti ho già detto (e ampiamente spiegato credo) che è sbagliato procedere in quel modo..I due integrali vanno studiati separatamente quindi dovrai scegliere un insieme di integrazione adatto per ogni integrale. Nel caso del primo integrale, ovvero :
\(\displaystyle v.p. \;\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iz}}{z^3+i} dz \)
dovrai andare a considerare il seguente insieme di integrazione (occhio ai segni) :
[fcd="Insieme di integrazione 1"][FIDOCAD]
LI 110 35 110 130 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 30 105 195 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 110 30 4 3 0 0 0 * Im
TY 195 105 4 3 0 0 0 * Re
BE 50 105 60 30 165 40 165 105 1
FCJ 1 0 3 2 0 0
TY 45 105 4 3 0 0 1 * -R
LI 50 105 165 105 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 165 105 4 3 0 0 1 * R
TY 135 50 4 3 0 0 1 * ΓR[/fcd]
LI 110 35 110 130 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 30 105 195 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 110 30 4 3 0 0 0 * Im
TY 195 105 4 3 0 0 0 * Re
BE 50 105 60 30 165 40 165 105 1
FCJ 1 0 3 2 0 0
TY 45 105 4 3 0 0 1 * -R
LI 50 105 165 105 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 165 105 4 3 0 0 1 * R
TY 135 50 4 3 0 0 1 * ΓR[/fcd]
per il secondo integrale, dovendo analizzare \(\displaystyle e^{-iz} \) andrai a prendere il complementare del precedente insieme ovvero :
[fcd="Insieme di integrazione 2"][FIDOCAD]
LI 110 35 110 150 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 35 80 200 80 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 110 30 4 3 0 0 0 * Im
TY 200 75 4 3 0 0 0 * Re
BE 50 80 55 155 160 155 165 80 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 45 75 4 3 0 0 1 * -R
LI 50 80 165 80 1
FCJ 1 0 3 2 0 0
TY 165 75 4 3 0 0 1 * R
TY 140 125 4 3 0 0 1 * ΓR[/fcd]
LI 110 35 110 150 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 35 80 200 80 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 110 30 4 3 0 0 0 * Im
TY 200 75 4 3 0 0 0 * Re
BE 50 80 55 155 160 155 165 80 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 45 75 4 3 0 0 1 * -R
LI 50 80 165 80 1
FCJ 1 0 3 2 0 0
TY 165 75 4 3 0 0 1 * R
TY 140 125 4 3 0 0 1 * ΓR[/fcd]
è chiaro il motivo?
La differenza è solo nel segno all'esponente, quindi suppongo sia per quello,però dal punto di vista teorico non capisco ancora.
Dagli appunti che ho il problema sembrerebbe principalmente determinare se il lemma di Jordan vale, ma il lemma dovrebbe valere in entrambi i semipiani, per cui non riesco a cogliere la differenza. Forse ha a che fare col verso di percorrenza, ma non vedo ancora come...
In alternativa, non potrei rimaneggare quell'integrale con la sostituzione :
$ -x=y $ e quindi $ dx=-dy $
Da cui : $ int_(-oo)^(oo) e^(-ix)/(x^3+i) dx= int_(oo)^(-oo) -e^(iy)/(-y^3+i) dy =int_(-oo)^(oo) e^(iy)/(-y^3+i) dy $
E a quel punto trovare i poli della nuova funzione e considerare il semipiano superiore?
Ovviamente non è detto che sia più semplice, anzi....forse è una complicazione inutile
Dagli appunti che ho il problema sembrerebbe principalmente determinare se il lemma di Jordan vale, ma il lemma dovrebbe valere in entrambi i semipiani, per cui non riesco a cogliere la differenza. Forse ha a che fare col verso di percorrenza, ma non vedo ancora come...
In alternativa, non potrei rimaneggare quell'integrale con la sostituzione :
$ -x=y $ e quindi $ dx=-dy $
Da cui : $ int_(-oo)^(oo) e^(-ix)/(x^3+i) dx= int_(oo)^(-oo) -e^(iy)/(-y^3+i) dy =int_(-oo)^(oo) e^(iy)/(-y^3+i) dy $
E a quel punto trovare i poli della nuova funzione e considerare il semipiano superiore?
Ovviamente non è detto che sia più semplice, anzi....forse è una complicazione inutile
Forse ho capito : ho mal interpretato il lemma di Jordan.
Nel caso in cui ho $ e^(-iz) $ l'integrale sulla semicirconferenza va a zero solo nel semipiano inferiore, mentre se l'esponente fosse positivo dovrei considerare il semipiano superiore.
Mi chiedo ancora se la sostituzione posta sopra sia lecita.
Nel caso in cui ho $ e^(-iz) $ l'integrale sulla semicirconferenza va a zero solo nel semipiano inferiore, mentre se l'esponente fosse positivo dovrei considerare il semipiano superiore.
Mi chiedo ancora se la sostituzione posta sopra sia lecita.
"SuperMath":
Nel caso in cui ho $ e^(-iz) $ l'integrale sulla semicirconferenza va a zero solo nel semipiano inferiore, mentre se l'esponente fosse positivo dovrei considerare il semipiano superiore.
Adesso ci siamo!
detto in altre parole il motivo per cui si scelgono così è perchè altrimenti (adottando il lemma di Jordan) avresti un integrale divergente e questo non avrebbe senso. Avendo possibilità di scegliere il percorso di integrazione ovviamente vogliamo che l'integrale abbia senso."SuperMath":
Mi chiedo ancora se la sostituzione posta sopra sia lecita.
Hai dimenticato di cambio segno sotto, sarebbe :
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iy}}{y^3-i} dy \)
la sostituzione mi sembra lecita quindi credo che possa funzionare (dovrei verificare). In ogni caso mi sembra soltanto una complicazione. Abbiamo già i poli dell'altra funzione, quello che dobbiamo fare è soltanto integrare su due curve diverse (facendo attenzione ai segni).
[EDIT] Ho verificato molto velocemente e, come era presumibile, è lecito (però occhio al fatto che sostituisci \(\displaystyle -x=y \)). Quindi puoi procedere con il metodo che più preferisci (anche se personalmente eviterei di incasinarmi con i segni dato che molto spesso sono l'errore più frequente).
Grazie! Ora credo di aver capito, proverò a fare qualche esercizio. Per quanto riguarda il segno a me sembra corretto, ho dovuto cambiare anche gli estremi di integrazione che si sono scambiati e poi li ho ri-scambiati mettendo un meno davanti....
Riprendendo il tuo post precedente, se la funzione da integrare fosse invece, più genericamente :
$ int_(-oo)^(+oo) e^(-itx)/(x^3+i) dx $
con t>0
utilizzando il cammino da te illustrato nel semipiano inferiore, avrei, considerando che questa volta il cammino sull'asse x è orientato in senso contrario :
$ -int_(-oo)^(+oo) e^(-itx)/(x^3+i) dx =2piisum Res(f,aj) $
dove aj sono i punti singolari della funzione nel semipiano inferiore. Corretto?
Riprendendo il tuo post precedente, se la funzione da integrare fosse invece, più genericamente :
$ int_(-oo)^(+oo) e^(-itx)/(x^3+i) dx $
con t>0
utilizzando il cammino da te illustrato nel semipiano inferiore, avrei, considerando che questa volta il cammino sull'asse x è orientato in senso contrario :
$ -int_(-oo)^(+oo) e^(-itx)/(x^3+i) dx =2piisum Res(f,aj) $
dove aj sono i punti singolari della funzione nel semipiano inferiore. Corretto?
Si, il lemma di Jordan (sul libro scritto dal mio prof) viene presentato così :
Sia \(\displaystyle f(z) \) una funzione continua nell'insieme :
con \(\displaystyle r\geq 0 \). Supponiamo \(\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z)=0 \) allora :
quindi, in altre parole, se l'esponenziale ha esponente positivo si considera la semicirconferenza superiore (ovvero \(\displaystyle I_m(z) \geq 0 \)), viceversa se l'esponenziale ha esponente negativo si considera la semicirconferenza inferiore (ovvero \(\displaystyle I_m(z)<0 \)).
Sia \(\displaystyle f(z) \) una funzione continua nell'insieme :
\(\displaystyle T = \{z \in \mathbb{C} \;:\; |z| \geq r \;,\; \alpha \leq arg(z) \leq \beta \} \)
con \(\displaystyle r\geq 0 \). Supponiamo \(\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z)=0 \) allora :
\(\displaystyle \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R} e^{i\mu\;z} f(z) dz = 0 \;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\; \begin{cases} se\;\mu > 0 \;\;per\;\; 0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \\ se\;\mu < 0 \;\;per\;\; \pi \leq \alpha < \beta \leq 2\pi \end{cases} \)
quindi, in altre parole, se l'esponenziale ha esponente positivo si considera la semicirconferenza superiore (ovvero \(\displaystyle I_m(z) \geq 0 \)), viceversa se l'esponenziale ha esponente negativo si considera la semicirconferenza inferiore (ovvero \(\displaystyle I_m(z)<0 \)).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo