Integrale complesso
Salve a tutti ragazzi e buona domenica
durante il mio studio in "Metodi Matematici per L'Ingegneria" mi sono inbattuto in un integrale che davvero non riesco a capire.So di mio che ho ancora alcune cose da fissare nella mia testa prima di sperare in un esito positivo per l'esame e spero che in qualche modo potete aiutarmi in questo.Comuque tornado a noi.
Il testo mi chiede di risolvere l integrale curvilineo del tipo $ oint_(C) (z^2cos(2/z)-e^(1/(z^2+2)))/z dz $ dove $ C $ è una circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario. In più mi viene chiesto di giustificare ogni affermazione.
Io stavo pensando di usare il teorema dei residui nei poli,osservando che il punto di singolarità $ z0=0 $ si trova all interno della circonferenza.Ma la mia preoccupazione diciamo si trova nella somma di funzioni al denominatore.Mi è lecito spezzare l integrale e dire che per $ oint_(C) z^2 cos(2/z)/z dz $ il mio residuo nei poli è nullo in quanto z=0 è una singolarità eliminabile,visto che il denominatore è "compensato" totalmente dal numeratore; mentre per $ -oint_(C)e^(1/(z^2 +2))/z $ procedo attraverso il limite osservando che per tale funzione ho polo semplice.
Mi domandavo se è possibile tutto ciò e se è possibile risolvere questo esercizio attraverso altri metodi,in particolare "Chaucy della forma integrale".Se è possibile,come????
Ringrazio infinitamente in anticipo e vi auguro ancora una buona giornata
durante il mio studio in "Metodi Matematici per L'Ingegneria" mi sono inbattuto in un integrale che davvero non riesco a capire.So di mio che ho ancora alcune cose da fissare nella mia testa prima di sperare in un esito positivo per l'esame e spero che in qualche modo potete aiutarmi in questo.Comuque tornado a noi.
Il testo mi chiede di risolvere l integrale curvilineo del tipo $ oint_(C) (z^2cos(2/z)-e^(1/(z^2+2)))/z dz $ dove $ C $ è una circonferenza di centro nell'origine e raggio unitario. In più mi viene chiesto di giustificare ogni affermazione.
Io stavo pensando di usare il teorema dei residui nei poli,osservando che il punto di singolarità $ z0=0 $ si trova all interno della circonferenza.Ma la mia preoccupazione diciamo si trova nella somma di funzioni al denominatore.Mi è lecito spezzare l integrale e dire che per $ oint_(C) z^2 cos(2/z)/z dz $ il mio residuo nei poli è nullo in quanto z=0 è una singolarità eliminabile,visto che il denominatore è "compensato" totalmente dal numeratore; mentre per $ -oint_(C)e^(1/(z^2 +2))/z $ procedo attraverso il limite osservando che per tale funzione ho polo semplice.
Mi domandavo se è possibile tutto ciò e se è possibile risolvere questo esercizio attraverso altri metodi,in particolare "Chaucy della forma integrale".Se è possibile,come????
Ringrazio infinitamente in anticipo e vi auguro ancora una buona giornata
Risposte
Va bene risolvere con i residui. Il teorema di Cauchy in ultima analisi è un caso particolare del teorema dei residui, quindi alla fine è sempre la stessa cosa. Fai i conti senza paura e poi commentiamo il risultato.
Ciaoo
grazie mille.Allora io ho risolto così.Chiamando con $ f1(z)=z^2cos(2/z)/z $ osservo che sviluppando il coseno in zero ho
$ g(z)=z^2-1/2+1/24z^-2.... $ quindi osservo che la singolarità(in zero) che avrei scommesso essere di tipo polare è in realtà ELIMINABILE( domanda:è giusta come osservazione?? Ho comunque infinite potenze negative z^-2 etc -> che mi potrebbe portare a dire che è una signolarità essenziale e così proseguo dell esercizio è sbagliato in quanto bisogna calcolare la serie di Laurent), quindi ho sicuramente residuo nullo. Per $ w(z)=-exp(1/(z^2+2))/z $ ho invece una singolarità polare di ordine 1 quindi
$ Res(w,0)=Res(f,0)=lim_(z -> 0) zw(z)=exp(-1/2) $ dove con f ho indicato la funzione integranda.
Quindi ricordando il teorema dei residui ho
$ oint_(C) (z^2cos(2/z)-e^(1/(z^2+2)))/z dz $ = $ 2pii(Res(f,0))= $ 2piie^(-1/2 $
Osservando che si trova all'interno del cerchio unitario
grazie mille.Allora io ho risolto così.Chiamando con $ f1(z)=z^2cos(2/z)/z $ osservo che sviluppando il coseno in zero ho
$ g(z)=z^2-1/2+1/24z^-2.... $ quindi osservo che la singolarità(in zero) che avrei scommesso essere di tipo polare è in realtà ELIMINABILE( domanda:è giusta come osservazione?? Ho comunque infinite potenze negative z^-2 etc -> che mi potrebbe portare a dire che è una signolarità essenziale e così proseguo dell esercizio è sbagliato in quanto bisogna calcolare la serie di Laurent), quindi ho sicuramente residuo nullo. Per $ w(z)=-exp(1/(z^2+2))/z $ ho invece una singolarità polare di ordine 1 quindi
$ Res(w,0)=Res(f,0)=lim_(z -> 0) zw(z)=exp(-1/2) $ dove con f ho indicato la funzione integranda.
Quindi ricordando il teorema dei residui ho
$ oint_(C) (z^2cos(2/z)-e^(1/(z^2+2)))/z dz $ = $ 2pii(Res(f,0))= $ 2piie^(-1/2 $
Osservando che si trova all'interno del cerchio unitario
Lo sviluppo di \(f_1\) è sbagliato, rifallo. La singolarità non è eliminabile ma essenziale, devi calcolare qualche termine dello sviluppo di Laurent per trovare il residuo in \(0\). L'altro residuo mi pare sbagliato, io direi piuttosto che è uguale a \(-e^{\frac12}\).
Riscrivendo il coseno nella serie di Laurent e osservando che è gia centrato nell'origine scriverò che: sviluppo coseno = $ sum_(k =0)(-1)^k 1/(2k!)(2/z)^(2k) $ quindi moltiplicando per z avrò $ sum_(k =0 \ldots)(-1)^k 1/(2k!)2^(2k)/z^(2k-1) $ cosi sviluppandolo in maniera esplcita avrò $ z-2/z+ sum_(k =2 \ldots)(-1)^k 1/(2k!)2^(2k)/z^(2k-1) $ il residuo sarà uguale a $ res(f1,0)=-2 $ quindi tornando all'integrale avro che il risultato sarà uguale
$ 2pii(Res(f1,0)+res(w,0))=2pii[(-2)-exp(1/2)] $
$ 2pii(Res(f1,0)+res(w,0))=2pii[(-2)-exp(1/2)] $
Adesso mi sembra giusto.
Grazie mille per il tempo e la disponibilità.
Un'ultimissima cosa.Se mi fosse stato chiesto di utilizzare Chaucy come sarebbe stato il procedimento di calcolo??
Un'ultimissima cosa.Se mi fosse stato chiesto di utilizzare Chaucy come sarebbe stato il procedimento di calcolo??
Si scrive Cauchy. Non vedo come quella formula si possa usare direttamente in questo caso. E come dicevo, alla fine il teorema di Cauchy e il teorema dei residui sono la stessa cosa, quindi gira e volta i calcoli da fare sono sempre gli stessi che hai fatto qua. Passa ad un altro esercizio e non ti preoccupare. Piuttosto, studia bene la classificazione delle singolarità che vedo che hai dei dubbi un po' pesantucci.
Va bene.
Ancora un grazie. A presto.
Ancora un grazie. A presto.
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