Integrale complesso
Salve gente, vi propongo questo integrale complesso:
$\int_{-pi}^{pi} (2+cos2 \vartheta)/(1+sen^2\vartheta) d\vartheta$
L'integrale si calcola nel piano z lungo la circonferenza C di raggio 1, dovrei trasformare cos e sen con le formule di Eulero sapendo che:
$cos\vartheta = 1/2(z+1/z)$ $sen\vartheta = 1/(2i)(z-1/z)$
Grazie a chiunque risponderà!
$\int_{-pi}^{pi} (2+cos2 \vartheta)/(1+sen^2\vartheta) d\vartheta$
L'integrale si calcola nel piano z lungo la circonferenza C di raggio 1, dovrei trasformare cos e sen con le formule di Eulero sapendo che:
$cos\vartheta = 1/2(z+1/z)$ $sen\vartheta = 1/(2i)(z-1/z)$
Grazie a chiunque risponderà!
Risposte
Scrivo
$sen^2 vartheta = -1/4(z^2+1/z^2-2)$ e $cos2 vartheta = 1-2sen^2 vartheta=1/2(z^2+1/z^2)$
Adesso riporto tutto in z con l'integrale ciclico della circonferenza C
$-i int_C (2+(z^2/2)+(1/(2z^2)))/(3/2-(z^2)/4-1/(4z^2)) dz$
Adesso come faccio a procedere?
$sen^2 vartheta = -1/4(z^2+1/z^2-2)$ e $cos2 vartheta = 1-2sen^2 vartheta=1/2(z^2+1/z^2)$
Adesso riporto tutto in z con l'integrale ciclico della circonferenza C
$-i int_C (2+(z^2/2)+(1/(2z^2)))/(3/2-(z^2)/4-1/(4z^2)) dz$
Adesso come faccio a procedere?
Scusate, nessuno riesce ad aiutarmi?
Ciao! Ora ti mostro come ho proceduto io 
In primo luogo, ho cercato di semplificarmi un po' la vita :
$ \int_{-\pi}^{\pi} (2+cos2 \theta)/(1+sen^2\theta) d\vartheta = 2 \int_{-\pi}^{\pi} (2+cos2 \theta)/(3-cos2\theta) d\vartheta $
semplicemente usando che $sen^2\theta= (1-cos2\theta)/2$.
Aggiungendo e sottraendo 3, arrivo a
$2 \int_{-\pi}^{\pi} -1+5/(3-cos2\theta) d\theta= -4\pi+20 \int_{-pi}^{pi} 1/(3-cos2\theta) d\theta $
Solo ora uso la sostituzione $ cos\theta = 1/2(z+1/z) $ con $z=e^{i\theta}$, ottenendo:
$ -4\pi- \frac{20}{i} \int_{C} \frac{z}{z^4-6z^2+1} dz$
RIsolvendo l'equazione di quarto grado al denominatore mediante la sostituzione $z^2=w$, otteniamo le quattro radici
$\pm \sqrt{3-2\sqrt{2}},\pm \sqrt{3+2\sqrt{2}} $.
Solo $\pm \sqrt{3-2\sqrt{2}}$ cadono all'interno della circonferenza unitaria, dunque solo di queste devi calcolare i residui. Applicando il teorema dei residui, puoi concludere.
In primo luogo, ho cercato di semplificarmi un po' la vita :
$ \int_{-\pi}^{\pi} (2+cos2 \theta)/(1+sen^2\theta) d\vartheta = 2 \int_{-\pi}^{\pi} (2+cos2 \theta)/(3-cos2\theta) d\vartheta $
semplicemente usando che $sen^2\theta= (1-cos2\theta)/2$.
Aggiungendo e sottraendo 3, arrivo a
$2 \int_{-\pi}^{\pi} -1+5/(3-cos2\theta) d\theta= -4\pi+20 \int_{-pi}^{pi} 1/(3-cos2\theta) d\theta $
Solo ora uso la sostituzione $ cos\theta = 1/2(z+1/z) $ con $z=e^{i\theta}$, ottenendo:
$ -4\pi- \frac{20}{i} \int_{C} \frac{z}{z^4-6z^2+1} dz$
RIsolvendo l'equazione di quarto grado al denominatore mediante la sostituzione $z^2=w$, otteniamo le quattro radici
$\pm \sqrt{3-2\sqrt{2}},\pm \sqrt{3+2\sqrt{2}} $.
Solo $\pm \sqrt{3-2\sqrt{2}}$ cadono all'interno della circonferenza unitaria, dunque solo di queste devi calcolare i residui. Applicando il teorema dei residui, puoi concludere.
Dimenticavo una cosa, non spaventarti dinanzi al calcolo dei residui delle due singolarità ( è davvero agevole se fai uso di qualche trucchetto! )
)
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