Integrale complesso

[and1991]

$ int_(+del D) (cos(pi/z))/(z(z^2-1)) $ con $D={z in CC : |z|<2}$

Risolvo quest'integrale col teorema dei residui:

Le singolarità sono:
$z=\pm 1$ poli semplici;
$z=0$ è una singolarità essenziale per il numeratore e un polo semplice per il denominatore quindi per qualche motivo(?) predomina la singolarità essenziale;
Essendo $Res_f(1)+Res_f(-1)+Res_f(0)=-Res_f(oo)$
ho che $ int_(+del D) (cos(pi/z))/(z(z^2-1)) = 2pij(-Res_f(oo))$

Pongo $w=1/z$ e considero la funzione ausiliaria $g(w)=f(1/w)=w^3cos(wpi)/(1-w^2)$.
Quando calcolo $Res_f(oo)$ ottengo:

$Res_f(oo)=Res_(-1/w^2 g(w))(0)=-w^2cos(wpi)/(1-w^2)$ e non essendo 0 un punto di singolarità, il residuo ovviamente è nullo quindi significa che quell'integrale fa 0.
Non capisco dove sbaglio visto che l'integrale è nullo nonostante la funzione non sia olomorfa in tutto $CC$..Oppure può capitare una cosa del genere? Grazie

[and1991]

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[Zero87]

"and1991":$z=0$ è una singolarità essenziale per il numeratore e un polo semplice per il denominatore quindi per qualche motivo(?) predomina la singolarità essenziale;

Si spiega con lo sviluppo di Laurent.
- Se un punto è una singolarità essenziale per una funzione, il suo sviluppo di Laurent ha infiniti termini negativi.
- Se un punto è un polo per una funzione, il suo sviluppo di Laurent ha finiti termini negativi.

Quindi, "detta grezza", se hai (singolarità essenziale in $z_0$)/(polo in $z_0$) il risultato è
$\frac{\sum_(n=-\infty)^\infty a_n (z-z_0)^n}{\sum_(n=-k)^\infty b_n (z-z_0)^n}$
restano tutti quei termini che "predominano" in quel rapporto e sono tutti quelli corrispondenti agli infiniti termini negativi della singolarità essenziale (di indici inferiori a $-k$).

[and1991]

"Zero87":[quote="and1991"]$z=0$ è una singolarità essenziale per il numeratore e un polo semplice per il denominatore quindi per qualche motivo(?) predomina la singolarità essenziale;

Si spiega con lo sviluppo di Laurent.
- Se un punto è una singolarità essenziale per una funzione, il suo sviluppo di Laurent ha infiniti termini negativi.
- Se un punto è un polo per una funzione, il suo sviluppo di Laurent ha finiti termini negativi.

Quindi, "detta grezza", se hai (singolarità essenziale in $z_0$)/(polo in $z_0$) il risultato è
$\frac{\sum_(n=-\infty)^\infty a_n (z-z_0)^n}{\sum_(n=-k)^\infty b_n (z-z_0)^n}$
restano tutti quei termini che "predominano" in quel rapporto e sono tutti quelli corrispondenti agli infiniti termini negativi della singolarità essenziale (di indici inferiori a $-k$).[/quote]

Grazie! E' proprio quello a cui avevo pensato ma non ho mai formalizzato Per quanto riguarda l'integrale sapresti dirmi se è corretto o meno quello che ho fatto?

[and1991]

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