Integrale compito di metodi

[emitrax]

Oggi mi è uscito un integrale che non sapevo proprio risolvere.

$int_0^oo(log(x))/(sqrt(x)(x^2+5x+4))dx$

ovviamente da determinare con il teorema dei residui.

Non sapevo proprio da dove iniziare.

EDIT:essendo l'unico esercizio che non ho fatto, sarà la prima cosa che mi chiederà all'orale! Qualcuno puo aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

caro emitrax
si tratta di un integrale assai 'insidioso' per il fatto che comprende due funzioni [$ln z$ e $sqrt(z)$...] che presentano un comportamento 'anomalo' in $z=0$ e per il fatto che tutte le singolarità della fuznione integranda sono poste sull'asse reale del piano $z$. Per questo motivo ti consiglio di modificare l'integrale operando la sostituzione $sqrt(x)=xi$. Si ha quindi...

$int_0^(+oo) (ln x)/(sqrt(x)*(x^2+5x+4))dx= 4*int_0^(+oo) (ln xi)/(xi^4+5xi^2+4)*d*xi$ (1)

La nuova funzione integranda non contiene più la radice quadrata e le singolarità [a parte $z=0$ ...] sono tutte disposte sull'asse immaginario. Prova a risolverlo così... se serve aiuto poi siamo sempre qui ...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[_nicola de rosa]

"lupo grigio":caro emitrax
si tratta di un integrale assai 'insidioso' per il fatto che comprende due funzioni [$ln z$ e $sqrt(z)$...] che presentano un comportamento 'anomalo' in $z=0$ e per il fatto che tutte le singolarità della fuznione integranda sono poste sull'asse reale del piano $z$. Per questo motivo ti consiglio di modificare l'integrale operando la sostituzione $sqrt(x)=xi$. Si ha quindi...

$int_0^(+oo) (ln x)/(sqrt(x)*(x^2+5x+4))dx= int_0^(+oo) (ln xi)/(xi^4+5xi^2+4)*d*xi$ (1)

La nuova funzione integranda non contiene più la radice quadrata e le singolarità [a parte $z=0$ ...] sono tutte disposte sull'asse immaginario. Prova a risolverlo così... se serve aiuto poi siamo sempre qui ...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

$int_0^(+oo) (ln x)/(sqrt(x)*(x^2+5x+4))dx= 2int_0^(+oo) (ln xi^2)/(xi^4+5xi^2+4)*d*xi=int_{-infty}^{+infty} (ln xi^2)/(xi^4+5xi^2+4)*d*xi$

[Sk_Anonymous]

Nell'operare la sostituzione $sqrt(x)=xi$ in effetti ho comesso un errore banale. Se poniamo $dx= 2*xi*d*xi$ e $ln xi^2=2*ln xi$ si ha...

$int_0^(+oo) (ln x)/(sqrt(x)*(x^2+5x+4))dx= 2*int_0^(+oo) (ln xi^2)/(xi^4+5xi^2+4)*d*xi = 4* int_0^(+oo) (ln xi)/(xi^4+5xi^2+4)*d*xi$ (1)

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[_nicola de rosa]

quindi l'integrale da risolvere è
$2int_{-infty}^{+infty}(ln xi)/((xi^2+4)(xi^2+1))d xi$.
i poli da considerare sarebbero due ,$xi=i,xi=2i$ e poi come prosegui?

[emitrax]

Bhe in effetti una funzioni cosi sembra piu facile da integrare. Adesso ci provo.

Grazie mille!

[Sk_Anonymous]

La via più ‘comoda’ [tra le altre…] per risolvere l’integrale è scriverlo nella forma…

$int_0^(+oo) (ln x)/(sqrt(x)*(x^2+5*x+1))*dx = int_(-oo)^(+oo) ln xi^2/(xi^4+5*xi^2+1) *d*xi$ (1)

Dal momento che in $xi=0$ la funzione integranda ha una singolarità di tipo logaritmico non siamo in grado di applicare il teorema dei residui nella sua forma ‘standard’. In questo caso scegliamo per l’integrazione il cammino ABCDEFA di figura…



Ponendo $f(z)= ln z^2/(z^4+5*z^2+1)$ si ha…

$int_(-oo)^(+oo) ln xi^2/(xi^4+5*xi^2+1) *d*xi= lim_(R->oo,r->0) [int_C f(z)*dz-int_(ABC) f(z)*dz – int_(DEF) f(z)*dz] = 2*pi*j*sum_k R_k [f(z] $ (2)

… essendo $R_k [f(z)]$ i residui della $f(z)$ posti all’interno del percorso $C$. Per il lemma di Jordan è $lim_(R->oo) int_(ABC)=0$. Lungo DEF è $z=r*e^(j*theta)$ con $-pi
$lim_(r->0) 2*int_(-pi)^0 (ln r+j*theta)/(1+5r^2e^(2j*theta)+r^4e^(4j*theta)) r*e^(j*theta)d*theta= 0$ (3)

In definitiva dunque…

$int_(-oo)^(+oo) ln xi^2/(xi^4+5*xi^2+1) d*xi= 2*pi*j*[lim_(z->j) ln z^2/((z+j)(z^2+4))+ lim_(z->2j) ln z^2/((z+2j)(z^2+1))]=$

$= 2*pi*j*(pi/12-pi/12+j*ln 4/12)= -pi/6*ln 4$ (4)


cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[_nicola de rosa]

"lupo grigio":La via più ‘comoda’ [tra le altre…] per risolvere l’integrale è scriverlo nella forma…

$int_0^(+oo) (ln x)/(sqrt(x)*(x^2+5*x+1))*dx = int_(-oo)^(+oo) ln xi^2/(xi^4+5*xi^2+1) *d*xi$ (1)

Dal momento che in $xi=0$ la funzione integranda ha una singolarità di tipo logaritmico non siamo in grado di applicare il teorema dei residui nella sua forma ‘standard’. In questo caso scegliamo per l’integrazione il cammino ABCDEFA di figura…



Ponendo $f(z)= ln z^2/(z^4+5*z^2+1)$ si ha…

$int_(-oo)^(+oo) ln xi^2/(xi^4+5*xi^2+1) *d*xi= lim_(R->oo,r->0) [int_C f(z)*dz-int_(ABC) f(z)*dz – int_(DEF) f(z)*dz] = 2*pi*j*sum_k R_k [f(z] $ (2)

… essendo $R_k [f(z)]$ i residui della $f(z)$ posti all’interno del percorso $C$. Per il lemma di Jordan è $lim_(R->oo) int_(ABC)=0$. Lungo DEF è $z=r*e^(j*theta)$ con $-pi
$lim_(r->0) 2*int_(-pi)^0 (ln r+j*theta)/(1+5r^2e^(2j*theta)+r^4e^(4j*theta)) r*e^(j*theta)d*theta= 0$ (3)

In definitiva dunque…

$int_(-oo)^(+oo) ln xi^2/(xi^4+5*xi^2+1) d*xi= 2*pi*j*[lim_(z->j) ln z^2/((z+j)(z^2+4))+ lim_(z->2j) ln z^2/((z+2j)(z^2+1))]=$

$= 2*pi*j*(pi/12-pi/12+j*ln 4/12)= -pi/6*ln 4$ (4)


cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

$lim_(z->j) ln z^2/((z+j)(z^2+4))=(ln(-1))/(6i)=(ln(e^(i*pi)))/(6i)=pi/6$
$ lim_(z->2j) ln z^2/((z+2j)(z^2+1))=(ln(-4))/(-12i)=i(ln4+ipi)/(12)=-pi/12+i/12ln4$
per cui la somma non dà parte reale nulla.

[Sk_Anonymous]

Osservazione esatta!...

... è probabile che abbia trascurato qualche proprietà della funzione $ln z$ in campo complesso e che la strada da me scelta porti... nelle sabbie mobili ...

Occorrerà cambiare strada... e da parte mia ripassare alcune propietà del logaritmo in campo complesso ...

cordiali saluti

lupo grigio



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[Piera4]

@emitrax
guarda l'esempio 1.13.1 pag. 72 di queste dispense
http://www.dmi.units.it/~tironi/MetMatLaT.pdf
credo che il tuo integrale si possa risolvere con lo stesso circuito.

[Sk_Anonymous]

Allora
torniamo all’inizio quando ho proposto il cambio di variabile $sqrt(x)=xi$ che ha portato a scrivere…

$int_0^(+oo) ln x/(sqrt(x)*(x^2+5*x+1)) dx= 4*int_0^(+oo) ln xi/(xi^4+5*xi^2+1)*d*xi$ (1)

Ciò detto andiamo ad integrare la funzione $f(z)= ln z/(z^4+5*z^2+1)$ lungo il percorso chiuso di figura…



Sarà…

$lim_(R->oo, r->0) int_C f(z)*dz= 2*pi*j*sum_k R_k [f(z)]=$

$=lim_(z->j) ln z/((z+j)*(z^2+4)) + lim_(z->2j) ln z/((z+2j)*(z^2+1))=$

$= 2*pi*j*(pi +j*ln 2)/12$ (2)

Si è dimostrato che sia il contributo sul ‘grande cerchio’ sia il contributo sul piccolo cerchio dell’integrale (2) sono nulli. Lungo CD è…

$int_(CD) f(z)*dz= int_(-R)^(-r) ln xi/(xi^4+5*xi+1)*d*xi-j*pi*int_(-R)^(-r) 1/(xi^4+5*xi^2+1)*d*xi=$

$=int_r^R ln xi/(xi^4+5*xi^2+1)*d*xi+j*pi*int_r^R 1/(xi^4+5*xi^2+1)*d*xi$ (3)

Lungo FA è…

$int_(EA) f(z)*dz= int_r^R ln xi/(xi^4+5*xi^2+1)*d*xi$ (4)

Di conseguenza i limiti (2) divengono…

$2*int_0^(+oo) ln xi/(xi^4+5*xi^2+1)* d*xi +j*pi*int_0^(+oo) 1/(xi^4+5*xi^2+1)*d*xi= 2*pi*j*(pi +j*ln 2)/12$ (5)

Egualiando le parti reali si ottiene…

$int_0^(+oo) ln xi/(xi^4+5*xi^2+1)* d*xi = -pi/12 * ln 2$ (6)

… per cui è [salvo errori naturalmente]…

$int_0^(+oo) ln x/(sqrt(x)*(x^2+5*x+1)) dx= -pi/3*ln 2$ (7)

Un bell’esempio delle insidie nascoste dietro la funzione logaritmo… un esempio da ricordare! …

cordiali saluti

lupo grigio



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