Integrale, come procedere?

[puma1]

Innanzi tutto saluto tutti quelli del forum...
Ho un problema con un integrale, sapete aiutarmi?
Questo è il testo:

tan X/1+sen^2 X dx

Ciao

[Nidhogg]

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Grazie.

Saluti, Ermanno.

[Woody1]

$t = sin(x) \quad => \quad x = asin(t) \quad => \quad dx = 1/sqrt(1-t^2)$. Abbiamo:
$\int t/sqrt(1-t^2)\cdot 1/(1+t^2) \cdot 1/sqrt(1-t^2) dt \quad = \quad\int t/{(1-t^2)(1+t^2)} dt = (1/2)\cdot\int (t/(1+t^2) + t/(1-t^2) dt = (1/4)log(1+t^2) - (1/4)log(1-t^2) + c = (1/4)log((1+t^2)/(1-t^2)) + c$. Pertanto:
$\int tan(x)/(1+sin^2(x)) dx = (1/4)log((1+sin^2(x))/(1-sin^2(x)))+c$.
Riprova: $(1/4)((2sin(x)cos(x))/(1+sin^2(x))+(2sin(x)cos(x))/(1-sin^2(x))) = (1/2)(sin(x)cos(x))(2/((1+sin^2(x))cos^2(x))) = tan(x)/(1+sin^2(x))$.
PS: $log$ è logaritmo naturale.
Saluti,

[in_me_i_trust]

mi permetto solo di aggiungere una risoluzione carina;se moltiplichi e dividi il denominatore per [cos(x)]^2 si ottiene immediatamente la primitiva (1/4)ln[2(tg(x)^2)+1]

ciao

[puma1]

Grazie a tutti per le soluzioni...
Ciao