Integrale col metodo dei residui

[AlyAly2]

Ciao a tutti, sto provando a svolgere il seguente integrale e il risultato che ottengo non è lo stesso delle soluzioni, spero che qualcuno possa aiutarmi a fare un po' di chiarezza...l'integrale è il seguente:
$ int_(0)^(2pi) sin(3theta)/(2+sintheta) d theta $
Per prima cosa ho pensato di esplicitare $sin(3theta)$ ottenendo così
$ int_(0)^(2pi) (3sintheta-4sin^3theta)/(2+sintheta) d theta $
Poi sono andata avanti definendo $f(z)=1/(iz)g((z+z^(-1))/2,(z-z^(-1))/(2i))$ e ottenenendo quindi
$f(z)=(z^3-z^(-3))/(iz^2-4z-i)$
Se non ho fatto errori i poli di questa funzione dovrebbero essere
$omega_1=-2i-isqrt(3),omega_2=-2i+isqrt(3)$
Calcolando i residui ottengo
$ Res(f,omega_1)=((26i+15isqrt(3))^2-1)/(2sqrt(3)(26i+15isqrt(3))) $
$ Res(f,omega_2)=-((26i-15isqrt(3))^2-1)/(2sqrt(3)(26i-15isqrt(3))) $
Ora devo aver sicuramente sbagliato qualcosa perchè con questi risultati, applicando il metodo dei residui,il risultato non torna Qualcuno mi potrebbe aiutare? Grazie mille in anticipo a tutti!

[AlyAly2]

Mi sono accorta di un errore, dovrei considerare solo $omega_2$ come accettabile. Nonostante ciò il risultato ancora non mi torna..

[Cmax1]

Forse conviene esprimere direttamente $\sin(3\theta)$ e $\sin\theta$ in termini di esponenziali complessi e poi eseguire le sostituzioni di variabili. Ma si dovrebbe ottenere lo stesso risultato. Il problema che vedo è che il numeratore $z^3-z^{-3}$ ha dei poli nel dominio interno alla curva di integrazione (se ben ho capito consideri la circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine: come si comporta il num. in $z=0$?). Prova ad esprimere l'integrando come $\frac{z^6-1}{z^3(...)}$ e guarda cosa ottieni.

[AlyAly2]

Grazie mille, adesso mi viene