Integrale coi residui e logaritmo
Ciao, sto provando a risolvere questo integrale [tex]$\int_{0}^{+\infty} \frac{log x}{(2x+1)(x^2+x+1)} dx$[/tex] e dovrebbe risultare [tex]$\frac{1}{27}(-\pi^2-9log^2(2))$[/tex]. Scrivo velocemente tutti i passaggi.
La funzione è sommabile e non è pari, come funzione ausiliaria scelgo [tex]$f(z)=\frac{log^{2} z}{(2z+1)(z^2+z+1)}$[/tex] con il logaritmo al quadrato.
Come dominio regolare ho scelto il semicerchio superiore escludendo escludendo lo $0$ e $-1/2$ che è una singolarità. I due poli sono $-1/2+i*\sqrt{3}/2$ (che cade dentro) e $-1/2-i*\sqrt{3}/2$.
[tex]$2{\pi}{i}Res(f, -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\int_{+\partial{T}}f(z)dz=\int_{-R}^{-\delta -\frac{1}{2}}\frac{{(log|z|+iarg(z))}^{2}}{(2z+1)(z^2+z+1)}dz - \int_{+\Gamma\delta}f(z)dz +$[/tex]
[tex]$+\int_{-\frac{1}{2}+\delta}^{\epsilon}\frac{{(log|z|+iarg(z))}^{2}}{(2z+1)(z^2+z+1)}dz - \int_{+\Gamma\epsilon}f(z)dz + \int_{+\epsilon}^{+R}\frac{{(log|z|+iarg(z))}^{2}}{(2z+1)(z^2+z+1)}dz + \int_{+\Gamma{R}}f(z)dz$[/tex].
Con i lemmi del cerchio piccolo e grande trovo che l'integrale sui semicerchio grande e quello sul semicerchietto centrato in $0$ valgono $0$, mentre sul semicerchietto centrato in $-1/2$ trovo $\frac{2}{3}(i\pi-log(2))^{2}$ infine il residuo nel polo mi viene [tex]$Res(f, -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{4}{27}{\pi}^{2}$[/tex] quindi alla fine passando al limite
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}=\frac{2}{3}(i\pi-log(2))^{2} + \int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}\frac{{(log|x|+i{\pi})}^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx+\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{{(log|x|+i{\pi})}^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex][tex]$ + \int_{0}^{+\infty}\frac{log^{2}x}{(2x+1)(x^2+x+1)}dz$[/tex]
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}= \frac{2}{3}(i\pi-log(2))^{2} + \int_{-\infty}^{0}\frac{{(log(-x)+i{\pi}))}^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx+ \int_{0}^{+\infty}\frac{log^{2}x}{(2x+1)(x^2+x+1)}dz$[/tex]
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}= -\frac{2}{3}\pi^{2}+\frac{2}{3}log^{2}(2)-\frac{4}{3}i\pi log(2) + \int_{-\infty}^{0}\frac{log^{2}(-x)}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex][tex]$- \int_{-\infty}^{0}\frac{\pi^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx+\int_{-\infty}^{0}\frac{2log(-x)i\pi}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx+\int_{0}^{+\infty}\frac{log^{2}x}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex]
quindi
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}= -\frac{2}{3}\pi^{2}+\frac{2}{3}log^{2}(2)-\frac{4}{3}i\pi log(2)- \int_{-\infty}^{0}\frac{\pi^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex][tex]$+\int_{-\infty}^{0}\frac{2log(-x)i\pi}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex]
cambio segno all'integrale che mi interessa
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}= -\frac{2}{3}\pi^{2}+\frac{2}{3}log^{2}(2)-\frac{4}{3}i\pi log(2)- \int_{-\infty}^{0}\frac{\pi^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex][tex]$-\int_{0}^{+\infty}\frac{2log(x)i\pi}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex]
considero quindi solo i numeri che hanno il $-i$ e ottengo
[tex]$-\frac{4}{27}{\pi}^{2}-\frac{2}{3}log(2)=\int_{0}^{+\infty}\frac{log(x)}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex]
e non mi sembra il risultato voluto...
La funzione è sommabile e non è pari, come funzione ausiliaria scelgo [tex]$f(z)=\frac{log^{2} z}{(2z+1)(z^2+z+1)}$[/tex] con il logaritmo al quadrato.
Come dominio regolare ho scelto il semicerchio superiore escludendo escludendo lo $0$ e $-1/2$ che è una singolarità. I due poli sono $-1/2+i*\sqrt{3}/2$ (che cade dentro) e $-1/2-i*\sqrt{3}/2$.
[tex]$2{\pi}{i}Res(f, -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\int_{+\partial{T}}f(z)dz=\int_{-R}^{-\delta -\frac{1}{2}}\frac{{(log|z|+iarg(z))}^{2}}{(2z+1)(z^2+z+1)}dz - \int_{+\Gamma\delta}f(z)dz +$[/tex]
[tex]$+\int_{-\frac{1}{2}+\delta}^{\epsilon}\frac{{(log|z|+iarg(z))}^{2}}{(2z+1)(z^2+z+1)}dz - \int_{+\Gamma\epsilon}f(z)dz + \int_{+\epsilon}^{+R}\frac{{(log|z|+iarg(z))}^{2}}{(2z+1)(z^2+z+1)}dz + \int_{+\Gamma{R}}f(z)dz$[/tex].
Con i lemmi del cerchio piccolo e grande trovo che l'integrale sui semicerchio grande e quello sul semicerchietto centrato in $0$ valgono $0$, mentre sul semicerchietto centrato in $-1/2$ trovo $\frac{2}{3}(i\pi-log(2))^{2}$ infine il residuo nel polo mi viene [tex]$Res(f, -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{4}{27}{\pi}^{2}$[/tex] quindi alla fine passando al limite
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}=\frac{2}{3}(i\pi-log(2))^{2} + \int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}}\frac{{(log|x|+i{\pi})}^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx+\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{{(log|x|+i{\pi})}^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex][tex]$ + \int_{0}^{+\infty}\frac{log^{2}x}{(2x+1)(x^2+x+1)}dz$[/tex]
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}= \frac{2}{3}(i\pi-log(2))^{2} + \int_{-\infty}^{0}\frac{{(log(-x)+i{\pi}))}^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx+ \int_{0}^{+\infty}\frac{log^{2}x}{(2x+1)(x^2+x+1)}dz$[/tex]
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}= -\frac{2}{3}\pi^{2}+\frac{2}{3}log^{2}(2)-\frac{4}{3}i\pi log(2) + \int_{-\infty}^{0}\frac{log^{2}(-x)}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex][tex]$- \int_{-\infty}^{0}\frac{\pi^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx+\int_{-\infty}^{0}\frac{2log(-x)i\pi}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx+\int_{0}^{+\infty}\frac{log^{2}x}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex]
quindi
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}= -\frac{2}{3}\pi^{2}+\frac{2}{3}log^{2}(2)-\frac{4}{3}i\pi log(2)- \int_{-\infty}^{0}\frac{\pi^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex][tex]$+\int_{-\infty}^{0}\frac{2log(-x)i\pi}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex]
cambio segno all'integrale che mi interessa
[tex]$2{\pi}{i}\frac{4}{27}{\pi}^{2}= -\frac{2}{3}\pi^{2}+\frac{2}{3}log^{2}(2)-\frac{4}{3}i\pi log(2)- \int_{-\infty}^{0}\frac{\pi^{2}}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex][tex]$-\int_{0}^{+\infty}\frac{2log(x)i\pi}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex]
considero quindi solo i numeri che hanno il $-i$ e ottengo
[tex]$-\frac{4}{27}{\pi}^{2}-\frac{2}{3}log(2)=\int_{0}^{+\infty}\frac{log(x)}{(2x+1)(x^2+x+1)}dx$[/tex]
e non mi sembra il risultato voluto...
Risposte
Qualche suggerimento? 
Perfavore anche un piccolo suggerimento potrebbe giovarmi... mi sono bloccato su questa tipologia di esercizi, credo di aver capito il metodo ma in realtà non mi risultano e non riesco a capire dove sbaglio, grazie...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo