Integrale che non si può risolvere
salve ragazzi, non riesco in alcun modo a calcolare questo integrale...
$int_0^16 dx/(abs(sqrt(x)-1)+sqrt(x))$
$int_0^16 dx/(abs(sqrt(x)-1)+sqrt(x))$
Risposte
Qualche tentativo di risoluzione? Cosa ti blocca?
In realtà non sono proprio partito, non si può integrare per parti.E la sostituzione non porta ad alcun vantaggio oppure sono io a non trovarlo
Scrivi quello che hai fatto con la sostituzione, altrimenti non si può capire bene dove ci sono errori/complicazioni date da un approccio non adatto.
@Mephlip allora avevo problemi con il valore assoluto.
$abs(sqrt(x)-1)$ lo divido per x positive e negative quindi mi trovo i due integrali $int_0^1 1/2sqrt(x)-1$ che ha due problemi nell'estremo di integrazione e non so proprio come procedere
$abs(sqrt(x)-1)$ lo divido per x positive e negative quindi mi trovo i due integrali $int_0^1 1/2sqrt(x)-1$ che ha due problemi nell'estremo di integrazione e non so proprio come procedere
Esatto, si discute il valore assoluto.
Non mi torna questa storia dei problemi negli estremi di integrazione, rivedi i calcoli (scrivili, te l'ho già detto).
Non mi torna questa storia dei problemi negli estremi di integrazione, rivedi i calcoli (scrivili, te l'ho già detto).
Secondo me si fa così. Bisogna partire dalla definizione di valore assoluto.
(La radice non da noie perché l'integrale "parte" da zero)
In pratica.
$|sqrt(x)-1|= sqrt(x)-1$ se $x>=1$
$|sqrt(x)-1|=-sqrt(x)+1$ se $x<1$
da cui
$ int_0^16 dx/(abs(sqrt(x)-1)+sqrt(x)) =int_0^1 1/(-sqrt(x)+1+sqrt(x))dx+int_1^16[1/(sqrt(x)-1+sqrt(x))]dx=$
$=int_0^1 1/(1)dx+int_1^16[1/(2sqrt(x)-1)]dx=int_0^1 1dx+int_1^16[1/(2sqrt(x)-1)]dx=[x]_0^1+int_1^16[1/(2sqrt(x)-1)]dx$
$t=2sqrt(x)-1$
$sqrt(x)=(t+1)/2$
$dt/dx=1/sqrt(x)$
$dx=sqrt(x)*dt=(t+1)/2 *dt$
quindi:
$int[1/(2sqrt(x)-1)]dx=int(1/t *dt*sqrt(x))=int(1/t *dt*(t+1)/2)=int(t+1)/(2t) dt=int(1/2+1/2 *1/t)dt= 1/2t+1/2 ln|t|+c$
Ricordando che $t=2sqrt(x)-1$
allora:
$int_1^16[1/(2sqrt(x)-1)]dx=[1/2(2sqrt(x)-1)+1/2*ln|2sqrt(x)-1|]_1^16$
Alla fine dovrebbe saltar fuori:
$int_0^16 dx/(abs(sqrt(x)-1)+sqrt(x)) =[x]_0^1+[1/2(2sqrt(x)-1)+1/2*ln|2sqrt(x)-1|]_1^16=4+1/2ln(7)$
Mi sa che il titolo non è proprio in regola...
(La radice non da noie perché l'integrale "parte" da zero)
In pratica.
$|sqrt(x)-1|= sqrt(x)-1$ se $x>=1$
$|sqrt(x)-1|=-sqrt(x)+1$ se $x<1$
da cui
$ int_0^16 dx/(abs(sqrt(x)-1)+sqrt(x)) =int_0^1 1/(-sqrt(x)+1+sqrt(x))dx+int_1^16[1/(sqrt(x)-1+sqrt(x))]dx=$
$=int_0^1 1/(1)dx+int_1^16[1/(2sqrt(x)-1)]dx=int_0^1 1dx+int_1^16[1/(2sqrt(x)-1)]dx=[x]_0^1+int_1^16[1/(2sqrt(x)-1)]dx$
$t=2sqrt(x)-1$
$sqrt(x)=(t+1)/2$
$dt/dx=1/sqrt(x)$
$dx=sqrt(x)*dt=(t+1)/2 *dt$
quindi:
$int[1/(2sqrt(x)-1)]dx=int(1/t *dt*sqrt(x))=int(1/t *dt*(t+1)/2)=int(t+1)/(2t) dt=int(1/2+1/2 *1/t)dt= 1/2t+1/2 ln|t|+c$
Ricordando che $t=2sqrt(x)-1$
allora:
$int_1^16[1/(2sqrt(x)-1)]dx=[1/2(2sqrt(x)-1)+1/2*ln|2sqrt(x)-1|]_1^16$
Alla fine dovrebbe saltar fuori:
$int_0^16 dx/(abs(sqrt(x)-1)+sqrt(x)) =[x]_0^1+[1/2(2sqrt(x)-1)+1/2*ln|2sqrt(x)-1|]_1^16=4+1/2ln(7)$
Mi sa che il titolo non è proprio in regola...
Concordo pienamente con SirDanielFortesque (tanta stima per il tuo nick, te l'ho già detto?), l'integrale si svolge così.
Io avevo sostituito soltanto $\sqrt{x}=y$, in modo che gli estremi di integrazione diventassero $y\in[1,4]$.
@SirDanielFortesque: non c'è bisogno infatti negli integrali definiti di tornare indietro con la variabile di partenza, si possono ricavare i nuovi estremi in base alla sostituzione effettuata (quello che fai tu non è sbagliato, infatti il risultato è giusto, ma non serve
).
Io avevo sostituito soltanto $\sqrt{x}=y$, in modo che gli estremi di integrazione diventassero $y\in[1,4]$.
@SirDanielFortesque: non c'è bisogno infatti negli integrali definiti di tornare indietro con la variabile di partenza, si possono ricavare i nuovi estremi in base alla sostituzione effettuata (quello che fai tu non è sbagliato, infatti il risultato è giusto, ma non serve
).
Ok. Terrò a mente la cosa.
Mi sono fatto di quelle giocate con la play station 1...
Mi sono fatto di quelle giocate con la play station 1...
Si mi risulta anche a me dopo
il problema era il valore assoluto mi ero dimenticato di cambiare il segno all'uno
il problema era il valore assoluto mi ero dimenticato di cambiare il segno all'uno
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