Integrale che non riesco a risolvere

[Amartya]

Salve a tutti, vi scrivo perchè da 2 gg non riesco a trovare un metodo di risoluzione generale per l'integrale

$\int (x*(1-x^2)^(1/2)) dx$.

Utilizzando il significato del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e procedendo per tentativi ho trovato la seguente soluzione :$-(1-x^2)^(3/2)/3$, che derivando diventa appunto la funzione integranda. Tuttavia pensando di avere avuto solo tanta fortuna mi sono chiesto quale sia un metodo di risoluzione più generale del procedere a tentativi e sperare nella fortuna. Tentando per sostituzioni per esempio considerando $1-x^2 = sin(x)^2$ alla fine arrivo ad un nulla di fatto.

Sarei molto grato se qualcuno potesse darmi una mano.

Saluti

Emanuele

[Richard_Dedekind]

Non esistono metodi generali per trovare le primitive di funzioni. Si tratta, come tu dici, di procedere per tentativi adattandosi ai vari casi che ci si presentano davanti.
Il tuo, però, è un caso piuttosto semplice. Si tratta di integrali immediati della forma
[tex]\displaystyle \int [f(x)]^\alpha\cdot f^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x=\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1},\,\,\alpha\neq -1[/tex]
riconducibili cioè alla derivata di una potenza. Lascio a te adattare la formula al tuo caso.

[Amartya]

"Richard_Dedekind":Non esistono metodi generali per trovare le primitive di funzioni. Si tratta, come tu dici, di procedere per tentativi adattandosi ai vari casi che ci si presentano davanti.
Il tuo, però, è un caso piuttosto semplice. Si tratta di integrali immediati della forma
[tex]\displaystyle \int [f(x)]^\alpha\cdot f^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x=\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1},\,\,\alpha\neq -1[/tex]
riconducibili cioè alla derivata di una potenza. Lascio a te adattare la formula al tuo caso.

Grazie,

cercavo soluzioni complesse e queste invece erano li sotto il naso.

Speriamo non mi capiti durante l'esame.


Grazie ancora

Emanuele