Integrale che mi fa impazziere aiuto
Ragazzi per favore aiutatemi nello svolgimento di questo integrale
integrale indefinito di 1/sqrt(a^2 + x^2)
ma come cavolo si risolve vi prego aiutatemi!
integrale indefinito di 1/sqrt(a^2 + x^2)
ma come cavolo si risolve vi prego aiutatemi!
Risposte
Ciao, vediamo se riesco a darti una mano...
Allora mi sembra che $int 1/sqrt(1 + x^2) = arcsinh x$ ora raccogliendo $a^2$ otteniamo:$1/|a| int 1/sqrt(1 + (x/a)^2)$ il che è uguale a $a/|a| arcsih (x/a) = segn (a) * arcsinh(x/a)$.
Penso sia questa la soluzione.... ogni commento è ovviamente accettato.
Ciao
Allora mi sembra che $int 1/sqrt(1 + x^2) = arcsinh x$ ora raccogliendo $a^2$ otteniamo:$1/|a| int 1/sqrt(1 + (x/a)^2)$ il che è uguale a $a/|a| arcsih (x/a) = segn (a) * arcsinh(x/a)$.
Penso sia questa la soluzione.... ogni commento è ovviamente accettato.
Ciao
La sostituzione $x=a* \tan (t)$, $t \in (-\pi/2,\pi/2)$ dovrebbe fornire dei risultati interessanti...
Edito: e in effetti mi porge il seguente bellissimo risultato: una primitiva (nel caso a=1) è $\log(|x+\sqrt{1+x^2}|) = \log(x+\sqrt{1+x^2})$. E questo concorda col risultato di crlscr in quanto il settore seno iperbolico di x è proprio $\log(x+\sqrt{1+x^2})$.
L'idea è questa: ponendo per semplicità a=1 ottieni l'integrale di $1/\cos(t)$, quindi operando la sostituzione $k=\tan(t/2)$ ti viene l'integrale di $2/(1-k^2)$ (usando le parametriche), che risulta essere $\log((1+k)/(1-k))$. Ora, $(1+k)/(1-k)=(1+\tan(t/2))/(1-\tan(t/2)) = (1+\sin(t))/(\cos(t)) = 1/\cos(t)+\tan(t) = \sqrt{1+x^2}+x$.
PS: ovviamente la soluzione di crlscr è del tutto immediata e la mia, invece, "contacciosa", ma mi è sempre piaciuto andare ad analizzare le relazioni tra le varie funzioni trigonometriche e in genere preferisco soluzioni più "generalizzabili".
In ogni caso, quando compare un $1+x^2$ di solito c'entra la tangente
Edito: e in effetti mi porge il seguente bellissimo risultato: una primitiva (nel caso a=1) è $\log(|x+\sqrt{1+x^2}|) = \log(x+\sqrt{1+x^2})$. E questo concorda col risultato di crlscr in quanto il settore seno iperbolico di x è proprio $\log(x+\sqrt{1+x^2})$.
L'idea è questa: ponendo per semplicità a=1 ottieni l'integrale di $1/\cos(t)$, quindi operando la sostituzione $k=\tan(t/2)$ ti viene l'integrale di $2/(1-k^2)$ (usando le parametriche), che risulta essere $\log((1+k)/(1-k))$. Ora, $(1+k)/(1-k)=(1+\tan(t/2))/(1-\tan(t/2)) = (1+\sin(t))/(\cos(t)) = 1/\cos(t)+\tan(t) = \sqrt{1+x^2}+x$.
PS: ovviamente la soluzione di crlscr è del tutto immediata e la mia, invece, "contacciosa", ma mi è sempre piaciuto andare ad analizzare le relazioni tra le varie funzioni trigonometriche e in genere preferisco soluzioni più "generalizzabili".
In ogni caso, quando compare un $1+x^2$ di solito c'entra la tangente
Ciao Martino innanzitutto ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato..ma purtroppo non mi sono ancora chiari dei punti
premetto che faccio il I anno di Ing.Civile e non ci hanno spiegato le funzioni trigonometriche iperboliche!
Ammettiamo di porre a=1 ottenendo
se potessi aiutarmi ancora te ne sarei grato
premetto che faccio il I anno di Ing.Civile e non ci hanno spiegato le funzioni trigonometriche iperboliche!
Ammettiamo di porre a=1 ottenendo
int(1/sqrt(1+x^2))ora come mai tu dici che questo integrale è uguale a:
int(1/cost)?
se potessi aiutarmi ancora te ne sarei grato
$\int 1/(\sqrt{1+x^2})dx$
Operi la sostituzione $x=\tan t$, cosicché la condizione $x \in RR$ diviene $t \in (-\pi/2,\pi/2)$. Inoltre $dx/dt = d/dt \tan t = 1/(\cos^2 t)$. Quindi l'integrale diviene
$\int 1/(\sqrt{1+\tan^2 t}) 1/(\cos^2 t) dt = \int 1/(\sqrt{1/\cos^2 t}) 1/(\cos^2 t) dt = \int (\cos t)/(\cos^2 t) dt = \int 1/(\cos t) dt$
Nota che quando estrai la radice di $\cos^2 t$ ottieni $\cos t$ perché quando $t \in (-\pi/2,\pi/2)$ il coseno è positivo.
Operi la sostituzione $x=\tan t$, cosicché la condizione $x \in RR$ diviene $t \in (-\pi/2,\pi/2)$. Inoltre $dx/dt = d/dt \tan t = 1/(\cos^2 t)$. Quindi l'integrale diviene
$\int 1/(\sqrt{1+\tan^2 t}) 1/(\cos^2 t) dt = \int 1/(\sqrt{1/\cos^2 t}) 1/(\cos^2 t) dt = \int (\cos t)/(\cos^2 t) dt = \int 1/(\cos t) dt$
Nota che quando estrai la radice di $\cos^2 t$ ottieni $\cos t$ perché quando $t \in (-\pi/2,\pi/2)$ il coseno è positivo.
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