Integrale carino e interessante
$intsecx/(sin^2x+1)dx=int1/(cosx(sin^2x+1)dx$ pongo $sinx=trArrx=arcsinthArrx in[-pi/2,pi/2]rArrdx=1/(sqrt(1-t^2))dt$ allora:
$intsecx/(sin^2x+1)dx=int1/((1-t)(1+t)(1+t^2))dt=1/4int1/(1-t)dt+1/4int1/(1+t)dt+1/2int1/(1+t^2)dt=-1/4ln|1-t|+1/4ln|1+t|+1/2arctant+c=-1/4ln|1-sinx|+1/4ln(1+sinx)+1/2arctan(sinx)+c$
come si può aggiustare un po' $arctan(sinx)$???
$intsecx/(sin^2x+1)dx=int1/((1-t)(1+t)(1+t^2))dt=1/4int1/(1-t)dt+1/4int1/(1+t)dt+1/2int1/(1+t^2)dt=-1/4ln|1-t|+1/4ln|1+t|+1/2arctant+c=-1/4ln|1-sinx|+1/4ln(1+sinx)+1/2arctan(sinx)+c$
come si può aggiustare un po' $arctan(sinx)$???
Risposte
Attenzione, la funzione che poni uguale
a t dev'essere invertibile... Hai fatto
$sinx=t$ e non lo puoi fare, a meno
che l'intervallo di integrazione (se l'integrale
è definito) lo consenta.
a t dev'essere invertibile... Hai fatto
$sinx=t$ e non lo puoi fare, a meno
che l'intervallo di integrazione (se l'integrale
è definito) lo consenta.
non ricordo se tu o l'hopital mi ha detto che ci rifletteva un po' su questa cosa... poi non mi avete fatto sapere più niente 
:-D
bè comunque ipotizzando $x in[-pi/2,pi/2]$, nell'intervallo $[-1,1]$ il calcolo ha senso. non saprei proprio come fare altrimenti a fare una sostituzione ad una funzione goniometrica.....
:-Dbè comunque ipotizzando $x in[-pi/2,pi/2]$, nell'intervallo $[-1,1]$ il calcolo ha senso. non saprei proprio come fare altrimenti a fare una sostituzione ad una funzione goniometrica.....
$int 1/(cosx(2-cos^2x)) dx$
e a questo punto credo si possano usare le regole
per l'integrazione di funzioni razionali.
e a questo punto credo si possano usare le regole
per l'integrazione di funzioni razionali.
non sostituisci x=arcsin t, ma sinx =t il che è diverso, quindi non c'è bisogno che la funzione sia invertibile
quindi ottieni $(dt)/(dx)=cos(x) => dx=(dt)/cos(x)=(dt)/cos(arcsin(t))=(dt)/sqrt(1-t^2)$ e quindi la puoi fare!
quindi ottieni $(dt)/(dx)=cos(x) => dx=(dt)/cos(x)=(dt)/cos(arcsin(t))=(dt)/sqrt(1-t^2)$ e quindi la puoi fare!
Si può fare $x=sint$, ma non credo si possa fare $sinx=t$,
perché la funzione che si pone uguale a t dev'essere
globalmente invertibile, così mi hanno insegnato...
Poi non so... Comunque il mio suggerimento era quello
di spezzare l'integrale nella somma di più integrali
con termini di primo grado in $cosx$, dopodiché
per ognuno di questi integrali usare la sostituzione $t=tan(x/2)$.
perché la funzione che si pone uguale a t dev'essere
globalmente invertibile, così mi hanno insegnato...
Poi non so... Comunque il mio suggerimento era quello
di spezzare l'integrale nella somma di più integrali
con termini di primo grado in $cosx$, dopodiché
per ognuno di questi integrali usare la sostituzione $t=tan(x/2)$.
in questo caso si può fare però perchè è un caso particolare, come diceva michele tv se l'integrale fosse definito tra quegli estremi avrebbe senso, e poi è una funzione periodica che si ripete sempre uguale fuori da quell'intervallo come il sen(x)
Appunto, avrebbe senso se fosse definito tra quegli estremi,
ma a quanto pare definito non lo è... Boh
ma a quanto pare definito non lo è... Boh
fuori da quell'intervallo si ripete sempre uguale,infatti il risultato torna
bè ponendo $sinx=t$ la nuova funzione integranda ha dominio $D=RR\\{+-1}$ nonostante $arcsinx$ abbia dominio $D=[-1,1]$. questo fatto forse ci può far riflettere....
ecco, quello che conta è il dominio della funzione integranda, non importa come ci si arriva
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