Integrale: cambio di variabile
Nel moto rettilineo uniformemente accelerato, quando integro la velocità (t), per passare allo spazio (t),
trovo (tra gli altri) un termine di questo tipo:
-Nota:
tzero = t con pedice 0
$ int_(tzero)^(t) Ao(t- tzero) dt $
Ao è una costante, e la porto fuori dal simbolo di integrale.
mi rimane:
$ Ao int_(tzero)^(t) (t- tzero) dt $
Pongo (t- tzero) = z
ed ottengo
$ Ao int_(tzero)^(t) z dt $
A questo punto, non so più come andare avanti. Ho la soluzione scritta, ma, vorrei capire come ci si arriva.
La soluzione è questa:
$ Ao int_(0)^(t - tzero) z dz $
Grazie a chi mi aiuta.
trovo (tra gli altri) un termine di questo tipo:
-Nota:
tzero = t con pedice 0
$ int_(tzero)^(t) Ao(t- tzero) dt $
Ao è una costante, e la porto fuori dal simbolo di integrale.
mi rimane:
$ Ao int_(tzero)^(t) (t- tzero) dt $
Pongo (t- tzero) = z
ed ottengo
$ Ao int_(tzero)^(t) z dt $
A questo punto, non so più come andare avanti. Ho la soluzione scritta, ma, vorrei capire come ci si arriva.
La soluzione è questa:
$ Ao int_(0)^(t - tzero) z dz $
Grazie a chi mi aiuta.
Risposte
Quando cambi la variabile devi 'ricalcolare' gli estremi di integrazione
Questo lo so.
Ma non ricordo come si fa.
Ma non ricordo come si fa.
Non riesco ad immaginare dove risieda la comodità di fare un cambio di variabile per risolvere questo integrale (basta sfruttare la linearità...). Comunque, dato l'integrale definito:
\[ \int_{a}^b f(x) \; \text{d} x \]
dove \( f \) è una funzione integrabile in \( [a,b] \), facendo il cambio di variabile:
\[ x = \psi (t) \implies \text{d} x = \psi'(t) \; \text{d} t \]
Si ha che:
\[ \int_{a}^b f(x) \; \text{d} x = \int_{\psi^{-1} (a)}^{\psi^{-1} (b) } f\left (\psi(t)\right ) \psi'(t) \; \text{d} t \]
dove \( \psi^{-1} \) denota l'inversa di \( \psi\). Dunque, nel tuo caso:
\[ t =\underbrace{ t_0 + z}_{{} \psi(z) } \implies \psi^{-1} (t) = t - t_0, \; \text{d} t = \text{d} z \]
\[\implies \int_{t_0}^{t} A_0 (\tau - t_0) \; \text{d} \tau = A_0 \int_{ 0}^{t - t_0} z \; \text{d} z \]
Nota: il \( \tau \) al posto di \(t\) non è un errore. Lo è usare la stessa variabile come estremo e allo stesso tempo variabile di integrazione.
\[ \int_{a}^b f(x) \; \text{d} x \]
dove \( f \) è una funzione integrabile in \( [a,b] \), facendo il cambio di variabile:
\[ x = \psi (t) \implies \text{d} x = \psi'(t) \; \text{d} t \]
Si ha che:
\[ \int_{a}^b f(x) \; \text{d} x = \int_{\psi^{-1} (a)}^{\psi^{-1} (b) } f\left (\psi(t)\right ) \psi'(t) \; \text{d} t \]
dove \( \psi^{-1} \) denota l'inversa di \( \psi\). Dunque, nel tuo caso:
\[ t =\underbrace{ t_0 + z}_{{} \psi(z) } \implies \psi^{-1} (t) = t - t_0, \; \text{d} t = \text{d} z \]
\[\implies \int_{t_0}^{t} A_0 (\tau - t_0) \; \text{d} \tau = A_0 \int_{ 0}^{t - t_0} z \; \text{d} z \]
Nota: il \( \tau \) al posto di \(t\) non è un errore. Lo è usare la stessa variabile come estremo e allo stesso tempo variabile di integrazione.
"Berationalgetreal":
\[ x = \psi (t) \implies \text{d} x = \psi'(t) \; \text{d} t \]
Significa che, se X è una funzione del tempo (guardo a sinistra della freccia), anche dx (guardo a destra della freccia dopo
l'uguale) sarà anch'essa funzione del tempo ?
E' questo il significato dell' apice, al secondo membro, dopo la freccia ?
Si ha che:
\[ \int_{a}^b f(x) \; \text{d} x = \int_{\psi^{-1} (a)}^{\psi^{-1} (b) } f\left (\psi(t)\right ) \psi'(t) \; \text{d} t \]
Perchè, i due estremi di integrazione sono l'inverso della funzione ?
Quando scrivi questo, pensi alla rappresentazione geometrica nel piano cartesiano,
dove, la funzione la leggi sull' asse y, e gli estremi, sull'asse delle x ?
\[ f\left (\psi(t)\right ) \ = t =\underbrace{ t_0 + z}_{{} \psi(z) } ? \]
\[ \psi'(t) \; \text = { A_0 } ? \]
Hai scritto:
\[ t =\underbrace{ t_0 + z}_{{} \psi(z) } \implies \psi^{-1} (t) = t - t_0, \; \text{d} t = \text{d} z \]
Capisco che (to + z) è una funzione di z.
Dopo la freccia, buio completo.
Puoi spiegarmi, in modo semplice, cosa hai fatto ?
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