Integrale: calcolare primitive
Scusatemi se presento un ulteriore esercizio, ma questo è svolto e vorrei capire se vi è o no errore nel calcolo delle primitive.
Si chiede di trovare le primitive in $[0,pi]$ della funzione:
$f(x)=((sinxsqrt(4-4sin^2x)/(sin^2x+2sinx+2))$
Io ho svolto nel seguente modo:
per la relazione fondamentale della trigonometria, vale l'uguaglianza $cos^2x+sin^2x=1 ->cos^2x=1-sin^2x$
La mia funzione, con alcune sostituzioni e semplificazioni, diventa:
$f(x)=((2sinx|cosx|)/((sinx+1)^2+1))$
adesso, per poter eliminare il valore assoluto, spezzo l'intervallo $[0,pi]$ in $[0,pi/2]$ e in $[pi/2,pi]$: nel primo intervallo, il cosx è positivo e lo stesso vale per il sinx( che sarà positivo anche nell'altro intervallo). Operando la sostituzione:
$sinx+1=t -> sinx=t-1$ e $d(sinx)=cosx=dt$,
e risolvendo l'integrale, la cui funzione integranda ora è:
$f(x)=(2(t-1))/(t^2+1)dt$ trovo la soluzione, nel primo intervallo:
$log|sin^2x+2sinx+2|-2arctg[sin^2x+2sinx+2]+c$ con c costante. Il problema è che, qualora mi fidassi di calcolatori online, il risultato non coincide con quello proposto da questi, per i quali si avrebbe $sqrt(cos^2x)(log|sin^2x+2sinx+2|-2arctg[sin^2x+2sinx+2])sec(x)$...possibile?
ovviamente, devo calcolarmi l'integrale anche per valori negativi del cosx, dopodichè calcolarmi il limite per x->pi/2 così da scrivere il tutto utilizzando una sola costante.... Sbaglio qualcosa oppure ( anche se la vedo difficile
) sbagliano i calcolatori??
Vi ringrazio immensamente.
Alex
Si chiede di trovare le primitive in $[0,pi]$ della funzione:
$f(x)=((sinxsqrt(4-4sin^2x)/(sin^2x+2sinx+2))$
Io ho svolto nel seguente modo:
per la relazione fondamentale della trigonometria, vale l'uguaglianza $cos^2x+sin^2x=1 ->cos^2x=1-sin^2x$
La mia funzione, con alcune sostituzioni e semplificazioni, diventa:
$f(x)=((2sinx|cosx|)/((sinx+1)^2+1))$
adesso, per poter eliminare il valore assoluto, spezzo l'intervallo $[0,pi]$ in $[0,pi/2]$ e in $[pi/2,pi]$: nel primo intervallo, il cosx è positivo e lo stesso vale per il sinx( che sarà positivo anche nell'altro intervallo). Operando la sostituzione:
$sinx+1=t -> sinx=t-1$ e $d(sinx)=cosx=dt$,
e risolvendo l'integrale, la cui funzione integranda ora è:
$f(x)=(2(t-1))/(t^2+1)dt$ trovo la soluzione, nel primo intervallo:
$log|sin^2x+2sinx+2|-2arctg[sin^2x+2sinx+2]+c$ con c costante. Il problema è che, qualora mi fidassi di calcolatori online, il risultato non coincide con quello proposto da questi, per i quali si avrebbe $sqrt(cos^2x)(log|sin^2x+2sinx+2|-2arctg[sin^2x+2sinx+2])sec(x)$...possibile?
ovviamente, devo calcolarmi l'integrale anche per valori negativi del cosx, dopodichè calcolarmi il limite per x->pi/2 così da scrivere il tutto utilizzando una sola costante.... Sbaglio qualcosa oppure ( anche se la vedo difficile
) sbagliano i calcolatori??Vi ringrazio immensamente.
Alex
Risposte
"bad.alex":
Operando la sostituzione:
$sinx+1=t -> sinx=t-1$ e $d(sinx)=cosx=dt$,
Non comprendo il pezzo $d(sinx)=cosx$
Con $d$ non stai indicando il differenziale?
"bad.alex":
$f(x)=(2(t-1))/(t^2+1)dt$ trovo la soluzione, nel primo intervallo:
$log|sin^2x+2sinx+2|-2arctg[sin^2x+2sinx+2]+c$ con c costante.
Il problema è che l'integrale in $t$ non è risolto correttamente.
Infatti
$int(2(t-1))/(t^2+1)dt=$
$int(2t)/(t^2+1)-int(2/(t^2+1))dt=$ che sono facili, cioè
$ln(t^2+1)-2arctg(t)+c$
Mi sa che hai sostituito male dentro l'arcotangente.
Derive nfatti mi restituisce
$ln(sin^2x+2sinx+2)-2arctg(sinx+1)+c$
Nel tuo calcolatore prova a togliere il modulo, sono sicuro che ti darà la stessa forma che ho scritto qua sopra.
Il caso $cosx<0$ dovrebbe essere analogo.
Ciao!
scusami, Steven: sono abituato a derivare nel seguente modo, anche se mi rendo conto che è inesatto.
Per quanto riguarda il resto, hai perfettamente ragione...
Grazie mille.
Buona serata, alex
Per quanto riguarda il resto, hai perfettamente ragione...
Grazie mille.
Buona serata, alex
Prego.
A presto
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