Integrale banale

[Jack_73]

Buonasera,
Oggi mi stavo domandando se fosse possibile attraverso dei passaggi matematici,dimostrare che l'integrale di $ int 1/cos^2(x) dx $ è $ tanx+c $
Sono partito considerando $ int 1/cos^2(x) dx $ = $ int (sen^2(x)+cos^2(x))/cos^2(x) dx $ che può essere spezzato in 2 parti $ int (sen^2x)/(cos^2x)dx+int(cos^2x)/cos^2xdx $ dove arrivo ad avere $ int tan^2(x) dx + int1dx $.
Ora se $ int1dx $ mi restituisce x,come posso arrangiare la prima parte?
Spero di non aver commesso castronate e grazie anticipatamente a chi mi saprà aiutare.

[feddy]

Ci sei quasi

Consideriamo $tan^2(x)$. Possiamo riscriverla, per note leggi dell'analisi, come $(1-cos^2(x))/cos^2(x)$. Riscriviamo ora questa quantità come somma algebrica di frazioni: $1/cos^2(x) - 1$.

Ora come noti l'integrale di $1/cos^2(x)$ è proprio $tan(x)$, mentre quello di $-1$ è banalmente $-x$, che si elide con l'$x$ che hai trovato precedentemente.

Quindi risulta che una primitiva è $tan(x)+C$

[axpgn]

Forse fai prima a derivare ...

[Jack_73]

"feddy":
Ora come noti l'integrale di $1/cos^2(x)$ è proprio $tan(x)$, mentre quello di $-1$ è banalmente $-x$, che si elide con l'$x$ che hai trovato precedentemente.

Ti ringrazio ma se avessi considerato quanto hai detto tu giustamente,avrei finito al primo passaggio
Io mi chiedevo se potevo "giostrarmi" con altri passaggi matematici algebrici senza dover ricorrere al fatto che la derivata della $tan(x)$ sia proprio $1/cos^2(x)$ ( leggasi cercare il pelo nell'uovo)

@axpgn per caso intendi derivare la tangente e ricondurmi a $1/cos^2(x)$?

[axpgn]

La derivata di $tan(x)$ è $sec^2 (x)=1/(cos^2(x))$ quindi $tan(x)$ è una primitiva di $1/(cos^2(x))$; non mi pare ci sia altro da aggiungere ...