Integrale arcsin(x), segno

[zaza390]

Qualcuno può spiegarmi in modo semplice perché
$\int arcsin(x) dx = x*arcsin(x)+sqrt(1-x^2)$
Non capisco il + prima della radice...

$\int arcsin(x) dx =$
$\int 1*arcsin(x) dx =$
$x*arcsin(x)- \int x*1/(sqrt(1-x^2))dx$

faccio
$\int x*1/(sqrt(1-x^2))dx=$
$1/2\int 2x*1/(sqrt(1-x^2))dx=$
$1/2\int 1/(sqrt(1-t))dt=$
$1/2\int (1-t)^(-1/2)dt=$
$1/2*(1-t)^(-1/2+1)/(-1/2+1)=$
$1/2*(1-t)^(1/2)/(1/2)=$
$1/2*2(1-t)^(1/2)=$

$sqrt(1-t)=$
$sqrt(1-x^2)=$

quindi
$\int arcsin(x) dx = x*arcsin(x)-sqrt(1-x^2)$

[Lo_zio_Tom]

A parte il fatto che si potevano evitare la maggior parte dei conti[nota]dato che l'integrale che esce dalla formula per parti è in realtà un integrale immediato[/nota], in un passaggio intermedio ti sei perso un "meno"; infatti devi considerare che $(1-t)^(-1/2)$ è una funzione composta (e quindi devi considerare anche la derivata di ciò che sta dentro alla parentesi e di conseguenza dividere tutto per $-1$)

$int(1-t)^(-1/2)dt=-2(1-t)^(1/2)+C$

tutto il resto va quasi bene: la costante additiva alla fine del risultato non è un orpello....

[zaza390]

Grazie per la risposta tommik, ora ho capito

Sono ai primi integrali, il prof ci sta facendo fare esercizi su integrazione per parti/sostituzione/razionali.

Visto che le funzioni composte banali mi fanno paura (non le vedo e le dimentico) negli appunti ho scritto così:

E' decente?

$\int arcsin(x) dx =$
$\int 1*arcsin(x) dx =$
$x*arcsin(x)- \int x*1/(sqrt(1-x^2))dx$

poi
$\int x*1/(sqrt(1-x^2))dx=$
$-1/2\int -2x*1/(sqrt(-x^2+1))dx=$
$-1/2\int 1/sqrt(t) dt=$
$-1/2\int t^(-1/2)dt=$
$-1/2*t^(-1/2+1)/(-1/2+1)+c=$
$-1/2*t^(1/2)/(1/2)+c=$
$-1/2*2t^(1/2)+c=$
$-t^(1/2)+c=$
$-sqrt(t)+c=$
$-sqrt(1-x^2)+c$

quindi
$\int arcsin(x) dx = x*arcsin(x)+sqrt(1-x^2)+c$