Integrale arcotangente
Salve,
dopo alcuni passaggi mi sono imbattuto in un integrale del genere:
$2*$ $\int f(x)dx$
con f(x) = $(1)/(9x^2+4)$
So che si calcola con l'integrale elementare dell'arcotangente, ma dato che non ho $(x^2+1)$ al denominatore, come diventata il risultato ?
Grazie.
Ps. Scusate se ho fatto qualche casino con le formule ma sono i miei primi post
dopo alcuni passaggi mi sono imbattuto in un integrale del genere:
$2*$ $\int f(x)dx$
con f(x) = $(1)/(9x^2+4)$
So che si calcola con l'integrale elementare dell'arcotangente, ma dato che non ho $(x^2+1)$ al denominatore, come diventata il risultato ?
Grazie.
Ps. Scusate se ho fatto qualche casino con le formule ma sono i miei primi post
Risposte
L'integrale generalizzato dell'arcotangente è
\[\int \displaystyle\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}=\arctan f(x)+c\]
Ora, se raccogli il $4$ al denominatore, l'integranda diventa
\[\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{9}{4}x^2}=\displaystyle\frac{1}{1+\big(\displaystyle\frac{3}{2}x\big)^2}\]
Dunque $f(x)=3/2x$ e $f'(x)=3/2$. Con il solito trucchetto moltiplica e dividi per tale quantità, et voilà, arrivi al risultato
\[\int \displaystyle\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}=\arctan f(x)+c\]
Ora, se raccogli il $4$ al denominatore, l'integranda diventa
\[\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{9}{4}x^2}=\displaystyle\frac{1}{1+\big(\displaystyle\frac{3}{2}x\big)^2}\]
Dunque $f(x)=3/2x$ e $f'(x)=3/2$. Con il solito trucchetto moltiplica e dividi per tale quantità, et voilà, arrivi al risultato
Grazie mille
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