Integrale arcigno
Salve a tutti,
non riesco proprio a trovare una via risolutiva che mi permetta di sbrogliare questo integrale:
$\int cos^2(5x)sen^4(5x)dx$
Ho provare a sostituire: [tex]tgx=t[/tex] e quindi:
$dx= 1/(1+t^2)$
$sen^2x= t^2/(1+t^2)$
$cos^2x=1/(1+t^2)$
Inteso come se fosse
$\int cos^2(5x)sen^2(5x)sen^2(5x)dx$
Però non capisco in che modo far rientrare il $5x$ comune alle due funzioni.
Qualche suggerimento?
Grazie a tutti
non riesco proprio a trovare una via risolutiva che mi permetta di sbrogliare questo integrale:
$\int cos^2(5x)sen^4(5x)dx$
Ho provare a sostituire: [tex]tgx=t[/tex] e quindi:
$dx= 1/(1+t^2)$
$sen^2x= t^2/(1+t^2)$
$cos^2x=1/(1+t^2)$
Inteso come se fosse
$\int cos^2(5x)sen^2(5x)sen^2(5x)dx$
Però non capisco in che modo far rientrare il $5x$ comune alle due funzioni.
Qualche suggerimento?
Grazie a tutti
Risposte
Il [tex]5x[/tex] lo elimini con una sostituzione tipo [tex]u=5x[/tex].
Per quanto riguarda come svolgere l'integrale, visto che l'esponente del coseno è basso, potresti scrivere:
[tex]\int \cos u\cdot\left( \frac{1}{5}\cos u \sin^4 u\right)\text{ d} u[/tex]
ed integrare per parti, in modo da ricondurti ad un integrale in solo [tex]\sin u[/tex]; da qui fai un'altro paio di integrazioni per parti ed arrivi al risultato finale.
Non è difficile, ma è un po' lunghetto.
Per quanto riguarda come svolgere l'integrale, visto che l'esponente del coseno è basso, potresti scrivere:
[tex]\int \cos u\cdot\left( \frac{1}{5}\cos u \sin^4 u\right)\text{ d} u[/tex]
ed integrare per parti, in modo da ricondurti ad un integrale in solo [tex]\sin u[/tex]; da qui fai un'altro paio di integrazioni per parti ed arrivi al risultato finale.
Non è difficile, ma è un po' lunghetto.
Grazie Gugo per il suggerimento.
$1/5$ però non ho capito bene come lo hai ricavato, se devo essere sincero.
Comunque integro per parti fra $cosu$ e $1/5cos(u)sen^4(u)$, il cui integrale è proprio $(sen^5(u))/25$; mentre il risultato per parti è:
$cosu*(sin^5(u))/25 + \int (sin^6(u))/25 dx
A questo punto dovrei risolvere l'integrale con il $sin^6(u)$ e otterrei la soluzione?
$1/5$ però non ho capito bene come lo hai ricavato, se devo essere sincero.
Comunque integro per parti fra $cosu$ e $1/5cos(u)sen^4(u)$, il cui integrale è proprio $(sen^5(u))/25$; mentre il risultato per parti è:
$cosu*(sin^5(u))/25 + \int (sin^6(u))/25 dx
A questo punto dovrei risolvere l'integrale con il $sin^6(u)$ e otterrei la soluzione?
"faximusy":
Grazie Gugo per il suggerimento.
$1/5$ però non ho capito bene come lo hai ricavato, se devo essere sincero.
Da [tex]u=5x \Rightarrow x=\frac{1}{5}u \Rightarrow \text{d} x=\frac{1}{5}\text{d} u[/tex].
"faximusy":
Comunque integro per parti fra $cosu$ e $1/5cos(u)sen^4(u)$, il cui integrale è proprio $(sen^5(u))/25$; mentre il risultato per parti è:
$cosu*(sin^5(u))/25 + \int (sin^6(u))/25 dx
Esatto.
"faximusy":
A questo punto dovrei risolvere l'integrale con il $sin^6(u)$ e otterrei la soluzione?
Certamente.
Ovviamente il [tex]\frac{1}{25}[/tex] lo puoi anche lasciare un po' da parte e calcolare solo [tex]\int \sin^6 u\text{ d}u[/tex]; però poi ricordatelo quando scrivi il risultato finale.
Grazie Gugo,
certo che l'integrale di $sen^6(u)$ mi sta dando bei grattacapi
certo che l'integrale di $sen^6(u)$ mi sta dando bei grattacapi
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