Integrale approssimato

[fireball-votailprof]

Ho difficoltà con il seguente esercizio. Valutare l'integrale $int_{0}^{1}(3x-1)^4dx$ sfruttando la formula di quadratura:
$int_{-1}^{1}f(x)dx~= 3/4f(-2/3)+1/2f(0)+3/4f(2/3)$
Ho provato a portare gli estremi di integrazione in $-1$ e $1$ con la sostituzione $x=1/2t+1/2$ e applicando all'integrale così ottenuto la suddetta formula ma non ottengo il risultato corretto. Suggerimenti?

[Bremen000]

Ciao, sarà un errore di conto. Posta i tuoi calcoli.

[pilloeffe]

Ciao Andre@,

La sostituzione proposta mi sembra valida...
La butto lì, non è che per caso ti sei dimenticato che posto $ x:= 1/2 t + 1/2 $ si ha $dx = 1/2 dt $ ?

[fireball-votailprof]

Con la sostituzione scritta sopra ottengo $1/2int_{-1}^{1}f(1/2t+1/2)dt=1/2int_{-1}^{1}(3/2t+1/2)^4dt$

Adesso se applico la formula di quadratura suggerita avrò

$1/2[3/4(-0.5)^4+1/2*1/16+3/4(3/2)^4]$
Che non dà il risultato esatto, contrariamente a quanto ci si aspetta da

[pilloeffe]

"Andre@":Che non dà il risultato esatto

Perché dici ciò?

Calcolando l'integrale indefinito, che è praticamente elementare, si ha:

$\int (3x - 1)^4 dx = - 1/15 (1 -3x)^5 + c $

Per cui si ha subito $\int_0^1 (3x - 1)^4 dx = 11/5 = 2,2 $, mentre dalla formula di quadratura proposta si ha:

$ \int_0^1 (3x - 1)^4 dx = 1/2 \int_{-1}^{1}f(1/2t+1/2)dt=1/2int_{-1}^{1}(3/2t+1/2)^4 dt ~= $
$ ~= 1/2 [3/4f(-2/3)+1/2f(0)+3/4f(2/3)] = 1/2[3/4(-0.5)^4+1/2 \cdot 1/16+3/4(3/2)^4] = $
$ = 3/8 \cdot 1/16 + 1/4 \cdot 1/16 +3/8 \cdot 81/16 = \frac{3 + 2 + 243}{8 \cdot 16} = 248/128 = 1,9375 $

che non sarà un'approssimazione eccezionale, ma neanche poi così scarsa...

[fireball-votailprof]

L'avevo trattata come formula gaussiana, quindi mi aspettavo fosse esatta per polinomi di grado fino al quinto! Invece non era così. È una formula esatta fino al terzo grado