Integrale Analisi I

[Biagio2580]

Ciao ragazzi , sto svolgendo un'integrale di Analisi I, e arrivo a questo punto:
$ int (t-2)/(t^2+2)dt $

In questo caso io spezzerei l'integrale così:
$ int t/(t^2+2)dt $ , In modo che moltiplicando per 2 avrei numeratore la derivata del denominatore , mentre mi resta più difficile il secondo caso , dove rimarrebbe: $ - int 2/(t^2+2)dt $
Nello svolgimento del compito però , la prima parte viene fatta come ho detto io (con a numeratore la derivata del denominatore), mentre il secondo integrale dovrebbe diventare:
$ - int 1/(t^2+2)dt $ .
Intanto non capisco che fine ha fatto il 2, non so se è un'errore del professore o semplifica con qualcosa , vi chiedo di chiarire intanto questa cosa.
Il secondo punto , quell più importante, è che questo ultimo integrale diventa:
$ - sqrt(2) arctan(t/(sqrt(2))) $
Non capisco che regola possa venire applicata per giungere a questo punto , vi chiedo di aiutarmi a capire.
Grazie in Anticipo!!

[Mephlip]

Sì, il fattore $2$ deve rimanere. Per calcolare il secondo integrale, sostituisci $t=\sqrt{2}s$.

[pilloeffe]

Ciao Biagio2580,

Ha raccolto il $2$ a denominatore:

$\int 2/(t^2 + 2) \text{d}t = \int 2/(2(t^2/2 + 1)) \text{d}t = \int 1/((t/\sqrt2)^2 + 1) \text{d}t = \sqrt2 \int (\text{d}s)/(s^2 + 1) = \sqrt2 arctan s = \sqrt2 arctan(t/\sqrt2) $

[Biagio2580]

Vi ringrazio a entrambi , solo un'ultima domanda , per pilloeffe, quando sostituisco con s , il differenziale come diventa?

[pilloeffe]

"Biagio2580":Vi ringrazio a entrambi

Prego.

"Biagio2580":[...] quando sostituisco con s, il differenziale come diventa?

Beh, credevo fosse evidente: $s := t/\sqrt2 \implies t = \sqrt2 s \implies \text{d}t = \sqrt2 \text{d}s $

[Biagio2580]

Perfetto grazie ancora (Non avevo capito che avevi portato subito la radice di 2 fuori).

[gugo82]

@Biagio2580: Per un po’ di teoria puoi vedere qui, formula (4) e sua dimostrazione.

[Biagio2580]

Grazie gugo82, oggi cercherò di guardarlo un po' tutto in generale.