Integrale analisi complessa con radice
Ciao a tutti...questo è l'integrale che sto studiando: [tex]\displaystyle\int_{\alpha}^{\infty} {dx\over{(x+1)^2\sqrt{x-\alpha}}}[/tex] per [tex]\alpha>0[/tex]
Ora la prima cosa che mi viene in mente è quello di sostituire [tex]z=x-\alpha[/tex] e quindi [tex]x=z+\alpha[/tex] ottenendo questo integrale [tex]\displaystyle\int_{\alpha}^{\infty} {dz\over{(z-\alpha-1)^2\sqrt{z}}}[/tex]
Confermate?
Ho visto due svolgimenti che si differenziano per [tex]1\over 2[/tex]:
il PRIMO considera [tex]\sqrt{z}[/tex] come [tex]+\sqrt{z}[/tex] e [tex]-\sqrt{z}[/tex] quindi due integrali che sottratti restituiscono 2 volte l'integrale iniziale.
successivamente [tex]{1\over 2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} {2dz\over{(z-\alpha-1)^2\sqrt{z}}} = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} {dz\over{(z-\alpha-1)^2\sqrt{z}}}= \pi i \sum Res f(z)[/tex]
Ora i poli: [tex]z=-(\alpha+1)[/tex] polo di ordine 2
Calcolo il residuo [tex]Res f(z,-(\alpha+1)) = lim {d\over dx} [{1\over \sqrt z}]= -{1\over 2}{1\over \sqrt[3] z}[/tex]
Quindi [tex]\pi i \sum Res f(z)= \pi i {-1\over 2}{1\over \sqrt[3] z}[/tex]
Il SECONDO non considera il doppio integrale per cui si ottiene [tex]1\over 2[/tex] in più rispetto al PRIMO
Quale procedimento seguire?
Grazie
Ora la prima cosa che mi viene in mente è quello di sostituire [tex]z=x-\alpha[/tex] e quindi [tex]x=z+\alpha[/tex] ottenendo questo integrale [tex]\displaystyle\int_{\alpha}^{\infty} {dz\over{(z-\alpha-1)^2\sqrt{z}}}[/tex]
Confermate?
Ho visto due svolgimenti che si differenziano per [tex]1\over 2[/tex]:
il PRIMO considera [tex]\sqrt{z}[/tex] come [tex]+\sqrt{z}[/tex] e [tex]-\sqrt{z}[/tex] quindi due integrali che sottratti restituiscono 2 volte l'integrale iniziale.
successivamente [tex]{1\over 2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} {2dz\over{(z-\alpha-1)^2\sqrt{z}}} = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} {dz\over{(z-\alpha-1)^2\sqrt{z}}}= \pi i \sum Res f(z)[/tex]
Ora i poli: [tex]z=-(\alpha+1)[/tex] polo di ordine 2
Calcolo il residuo [tex]Res f(z,-(\alpha+1)) = lim {d\over dx} [{1\over \sqrt z}]= -{1\over 2}{1\over \sqrt[3] z}[/tex]
Quindi [tex]\pi i \sum Res f(z)= \pi i {-1\over 2}{1\over \sqrt[3] z}[/tex]
Il SECONDO non considera il doppio integrale per cui si ottiene [tex]1\over 2[/tex] in più rispetto al PRIMO
Quale procedimento seguire?
Grazie
Risposte
Forse ho capito...correggetemi se sbaglio...
[tex]\sqrt z =\sqrt |z| e^{i {\theta \over 2}}[/tex] per [tex]{0<\theta<2\pi}[/tex] quindi ho una circonferenza con tratto di diramazione:
[tex]\displaystyle\int_{\gamma}f(x)dx+\displaystyle\int_{C_R}f(x)dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{R} {f(x)^+}dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{R}{f(x)^-}dx = 2\pi i\sum {Res f(x)}[/tex] e considerando che per il piccolo e grande cerchio i primi due integrali si annullano otterrei proprio il risultato del PRIMO svolgimento.
Confermate??
Grazie
[tex]\sqrt z =\sqrt |z| e^{i {\theta \over 2}}[/tex] per [tex]{0<\theta<2\pi}[/tex] quindi ho una circonferenza con tratto di diramazione:
[tex]\displaystyle\int_{\gamma}f(x)dx+\displaystyle\int_{C_R}f(x)dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{R} {f(x)^+}dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{R}{f(x)^-}dx = 2\pi i\sum {Res f(x)}[/tex] e considerando che per il piccolo e grande cerchio i primi due integrali si annullano otterrei proprio il risultato del PRIMO svolgimento.
Confermate??
Grazie
scusatemi....mi sono sbagliata a scrivere la formula relativa alla somma degli integrali: l'ultimo integrale deve essere sottratto
Penso di aver risolto il dubbio sulla funzione polidroma [tex]\sqrt z[/tex], almeno per il momento, ma ora sorge un dubbio con il logaritmo....
Ho il seguente integrale già svolto: [tex]\displaystyle\int_{0}^{\infty} {logx dx\over (x^2-1)}[/tex]
Ora, sappiamo [tex]log x = log|x| + i\theta[/tex] ma nel momento della determinazione delle singolarità, [tex]z=1[/tex] e [tex]z=-1[/tex], non ho ben chiaro come [z=-1] possa essere una singolarità eliminabile...
Inoltre nel grafico viene considerato pure [tex]z=0[/tex], perchè??
Volevo inserire il grafico, c'è un editor per crearlo???
Grazie[/asvg]
Ho il seguente integrale già svolto: [tex]\displaystyle\int_{0}^{\infty} {logx dx\over (x^2-1)}[/tex]
Ora, sappiamo [tex]log x = log|x| + i\theta[/tex] ma nel momento della determinazione delle singolarità, [tex]z=1[/tex] e [tex]z=-1[/tex], non ho ben chiaro come [z=-1] possa essere una singolarità eliminabile...
Inoltre nel grafico viene considerato pure [tex]z=0[/tex], perchè??
Volevo inserire il grafico, c'è un editor per crearlo???
Grazie[/asvg]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo