Integrale analisi 1
ragazzi mi sono fuso il cervello sapete per caso come si risolve questo integrale???
$int_0^(pi/2) (e^(sin(x))-1)/sin(x)dx$
$int_0^(pi/2) (e^(sin(x))-1)/sin(x)dx$
Risposte
Calcolare una primitiva in maniera esplicita
non si può; si può però dire che la funzione
$(e^(sinx)-1)/(sinx)$ è integrabile in
senso improprio in $(0,pi/2)$, ovvero l'integrale
è convergente (chiaramente il problema della
convergenza si pone per $x->0^+$).
Infatti per $x->0^+$ si ha:
$(e^(sinx)-1)/(sinx) = 1+o(1)$
ovvero la funzione integranda tende a 1
per $x->0^+$ (limite notevole) e dall'integrabilità
in senso improprio della funzione costante $f(x)=1$ segue quella
di $(e^(sinx)-1)/(sinx)$ per il criterio del confronto asintotico.
non si può; si può però dire che la funzione
$(e^(sinx)-1)/(sinx)$ è integrabile in
senso improprio in $(0,pi/2)$, ovvero l'integrale
è convergente (chiaramente il problema della
convergenza si pone per $x->0^+$).
Infatti per $x->0^+$ si ha:
$(e^(sinx)-1)/(sinx) = 1+o(1)$
ovvero la funzione integranda tende a 1
per $x->0^+$ (limite notevole) e dall'integrabilità
in senso improprio della funzione costante $f(x)=1$ segue quella
di $(e^(sinx)-1)/(sinx)$ per il criterio del confronto asintotico.
Non serve tutto questo giro; è vero che l'integrale è improprio ma l'integranda tende a 1 per x che tende a 0, per cui è banale avere la convergenza dell'integrale.
E' vero, si può intuire da subito che
la convergenza c'è, data la presenza del limite
notevole, ma ho preferito seguire
pedantemente i metodi "standard"
che dovrò utilizzare anche all'esame.
la convergenza c'è, data la presenza del limite
notevole, ma ho preferito seguire
pedantemente i metodi "standard"
che dovrò utilizzare anche all'esame.
Non si tratta di una intuizione, ma di un procedimento corretto e rigoroso, equivalente al tuo che per altro non mi sembra corretto: l'integranda tende a 1, ma in base alla tua equivalenza dovrebbe tendere a 0.
Non capisco... Il ragionamento che ho fatto
mi sembra giusto, ho usato il criterio del
confronto asintotico.
mi sembra giusto, ho usato il criterio del
confronto asintotico.
Ehm sì hai ragione!!!
In realtà è $(e^(sinx)-1)/(sinx)=1+o(1)$
per $x->0^+$, ho fatto un errore di distrazione;
a forza di combattere con i polinomi di Taylor
mi viene da scrivere anche cose sbagliate...
Resta però il fatto che il ragionamento è
corretto e ho fatto solo un errore di distrazione.
In realtà è $(e^(sinx)-1)/(sinx)=1+o(1)$
per $x->0^+$, ho fatto un errore di distrazione;
a forza di combattere con i polinomi di Taylor
mi viene da scrivere anche cose sbagliate...
Resta però il fatto che il ragionamento è
corretto e ho fatto solo un errore di distrazione.
Hai detto che l'integranda è asintotica a senx per x che tende a 0. Se così fosse dovrebbe tendere a 0, ed invece tende a 1.
Vedi sopra.
Un commento riguardo alla terminologia... perché mai dovrebbe essere un integrale improprio? Anche il modulo della funzione integranda è integrabile su tale intervallo, dunque la funzione è sommabile. Orbene, il mio testo parla di integrali impropri quando la funzione integranda non è sommabile ma semplicemente integrabile. Qualcuno ha una definzione diversa di integrale improprio?
Cito da "Lezioni di Analisi Matematica I" di Bertsch - Dal Passo.
Definizione.
i) Sia $f:(a,b]->RR$, $a in RR uu {-oo}$, tale che
$AAomega in (a,b]$ risulti $f in ccR(omega,b)$, cioè
esiste $int_(omega)^b f(x) dx " "AAomega in (a,b].
Se esiste finito il limite $lim_(omega->a^+) int_(omega)^b f(x) dx
si dice che f è integrabile in senso improprio
(o generalizzato) in $(a,b]$, e
$lim_(omega->a^+) int_(omega)^b f(x) dx
è detto integrale improprio o generalizzato
di f in $(a,b]$ e viene denotato con il simbolo
$int_a^b f(x) dx$.
Non sto a scrivervi anche la ii) in quanto è
assolutamente analoga alla i),
l'unica cosa che cambia è che l'intervallo è $[a,b)$ e
$b in RR uu {+oo}$ e chiaramente il limite
è per x che tende a b da sinistra, essendo
f Riemann-integrabile in $(a,omega)$
(l'insieme delle funzioni integrabili secondo
Riemann in un intervallo chiuso e limitato
$[a,b]$ è indicato con $ccR(a,b)$).
Definizione.
i) Sia $f:(a,b]->RR$, $a in RR uu {-oo}$, tale che
$AAomega in (a,b]$ risulti $f in ccR(omega,b)$, cioè
esiste $int_(omega)^b f(x) dx " "AAomega in (a,b].
Se esiste finito il limite $lim_(omega->a^+) int_(omega)^b f(x) dx
si dice che f è integrabile in senso improprio
(o generalizzato) in $(a,b]$, e
$lim_(omega->a^+) int_(omega)^b f(x) dx
è detto integrale improprio o generalizzato
di f in $(a,b]$ e viene denotato con il simbolo
$int_a^b f(x) dx$.
Non sto a scrivervi anche la ii) in quanto è
assolutamente analoga alla i),
l'unica cosa che cambia è che l'intervallo è $[a,b)$ e
$b in RR uu {+oo}$ e chiaramente il limite
è per x che tende a b da sinistra, essendo
f Riemann-integrabile in $(a,omega)$
(l'insieme delle funzioni integrabili secondo
Riemann in un intervallo chiuso e limitato
$[a,b]$ è indicato con $ccR(a,b)$).
Interessante... quindi secondo la tua professoressa, l'integrale improprio è una cosa diversa da come lo intende il mio professore 
Per sfizio... la tua prof come lo chiama l'integrale di una funzione non sommabile qualora esso esista finito?
Per sfizio... la tua prof come lo chiama l'integrale di una funzione non sommabile qualora esso esista finito?
Non lo so... Comunque non ho mai sentito parlare di
sommabilità... Per la Dal Passo e Bertsch esiste
l'integrabilità (semplice) in senso improprio e l'assoluta
integrabilità in senso improprio, cioè l'integrabilità
del modulo della funzione.
Ho l'esame tra breve e non vorrei confondere
ulteriormente le idee ^^
Non lo so come lo intende il tuo professore,
fatto sta che la mia prof odia essere contraddetta...
sommabilità... Per la Dal Passo e Bertsch esiste
l'integrabilità (semplice) in senso improprio e l'assoluta
integrabilità in senso improprio, cioè l'integrabilità
del modulo della funzione.
Ho l'esame tra breve e non vorrei confondere
ulteriormente le idee ^^
Non lo so come lo intende il tuo professore,
fatto sta che la mia prof odia essere contraddetta...
Eheheheh ti capisco... bene allora non posso far altro che augurarti buon esame. Dopo l'esame ci aspettiamo un tuo messaggio sul forum che suoni più o meno così: "Veni, vidi, vici" 
Ah ah ah, grande, magari fosse davvero così!
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