Integrale all'interno di un problema di fisica
Ciao, stavo risolvendo un problema di elettrostatica e ho riscontrato problemi nel risolvere un integrale.
Sono giunto a $dE_x = \lambda/ (4\pi\epsilon_0) * ((x - s ) ds)/ [(x - s)^2 + y^2]^(3/2)$
$dE_y = \lambda/ (4\pi\epsilon_0) * (y ds)/ [(x - s)^2 + y^2]^(3/2)$
Dovrei integrare tra -a e a.
Il risultato è $E_x = \lambda/ (4\pi\epsilon_0) *{ 1/ [(x - a)^2 + y^2]^(1/2) - 1/ [(x + a)^2 + y^2]^(1/2)} $
invece l'altro è $E_y = \lambda/ (4\pi\epsilon_0) *{ (x + a)/ [(x + a)^2 + y^2]^(1/2) - (x - a)/ [(x - a)^2 + y^2]^(1/2)} $
Ovviamente in entrambi i casi ho portato fuori dall'integrale $\lambda/ (4\pi\epsilon_0)$. Per esempio in $dE_x$, ho provato ad applicare sostituzione mettendo $(x - s) = t$ per poi applicare la scomposizione in fratti semplici. Però diventa una strada molto complicata e tortuosa. Ho l'impressione che ci sia un artificio più semplice per risolvere nel modo più veloce e immediato questo tipo di integrali. Ringrazio anticipatamente chiunque possa darci un'occhiata
Sono giunto a $dE_x = \lambda/ (4\pi\epsilon_0) * ((x - s ) ds)/ [(x - s)^2 + y^2]^(3/2)$
$dE_y = \lambda/ (4\pi\epsilon_0) * (y ds)/ [(x - s)^2 + y^2]^(3/2)$
Dovrei integrare tra -a e a.
Il risultato è $E_x = \lambda/ (4\pi\epsilon_0) *{ 1/ [(x - a)^2 + y^2]^(1/2) - 1/ [(x + a)^2 + y^2]^(1/2)} $
invece l'altro è $E_y = \lambda/ (4\pi\epsilon_0) *{ (x + a)/ [(x + a)^2 + y^2]^(1/2) - (x - a)/ [(x - a)^2 + y^2]^(1/2)} $
Ovviamente in entrambi i casi ho portato fuori dall'integrale $\lambda/ (4\pi\epsilon_0)$. Per esempio in $dE_x$, ho provato ad applicare sostituzione mettendo $(x - s) = t$ per poi applicare la scomposizione in fratti semplici. Però diventa una strada molto complicata e tortuosa. Ho l'impressione che ci sia un artificio più semplice per risolvere nel modo più veloce e immediato questo tipo di integrali. Ringrazio anticipatamente chiunque possa darci un'occhiata
Risposte
Ma quali fratti semplici, macché tortuosa… Quello con $x-s$ al numeratore è un integrale immediato.
Prova a fare la derivata di $1/sqrt(x^2+a^2)$
Ciao jarrod,
L'integrale per $E_x $ è immediato, come ti ha già scritto gugo82, perché è riconducibile ad un integrale del tipo seguente:
$\int [f(t)]^a f'(t) \text{d}t = \frac{[f(t)]^{a + 1}}{a + 1} + c $
ove nel caso in esame $a = - 3/2 $
Per quanto concerne $E_y $ invece l'integrale è meno immediato, ma è ricorrente sul forum ed è già stata indicata la modalità di risoluzione ad esempio qui.
L'integrale per $E_x $ è immediato, come ti ha già scritto gugo82, perché è riconducibile ad un integrale del tipo seguente:
$\int [f(t)]^a f'(t) \text{d}t = \frac{[f(t)]^{a + 1}}{a + 1} + c $
ove nel caso in esame $a = - 3/2 $
Per quanto concerne $E_y $ invece l'integrale è meno immediato, ma è ricorrente sul forum ed è già stata indicata la modalità di risoluzione ad esempio qui.
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