Integrale al variare di un parametro: calcoli ostici
Ciao a tutti, ogni tanto aiuto qualche amico alle prese con l'esame di analisi1, che ho dato da tempo ormai.
In ogni caso non è la prima volta che mi imbatto in esercizi del genere.. Eppure in questo caso trovo molto ostici i calcoli, anche con l'uso di Wlophram.. Sarà che mi sfugge qualcosa.. Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolverlo?
$ int_(2)^(+infty) ((x-2)^(2/7)*((2x^2+1)^(1/5)-2)dx)/(x^(alpha)*((3x+2)^(1/3)-2)) $
Grazie, a presto
In ogni caso non è la prima volta che mi imbatto in esercizi del genere.. Eppure in questo caso trovo molto ostici i calcoli, anche con l'uso di Wlophram.. Sarà che mi sfugge qualcosa.. Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolverlo?
$ int_(2)^(+infty) ((x-2)^(2/7)*((2x^2+1)^(1/5)-2)dx)/(x^(alpha)*((3x+2)^(1/3)-2)) $
Grazie, a presto
Risposte
Ma calcoli di che tipo? Non starai cercando di integrare esplicitamente spero (spero non sia richiesto neanche dalla traccia dell'esercizio), credo sia molto più plausibile che venga richiesto solo lo studio della convergenza.
"Mephlip":
Ma calcoli di che tipo? Non starai cercando di integrare esplicitamente spero (spero non sia richiesto neanche dalla traccia dell'esercizio), credo sia molto più plausibile che venga richiesto solo lo studio della convergenza.
Ovvio che no! Intendo studiare il comportamento dell'integrale al variare del parametro!
Solitamente sono abituato a svolgere questi esercizi facendo considerazioni su domini, stime asintotiche, fino a trovarmi difronte ad un integrale improprio notevole dal quale estrapolare la soluzione in funzione di alfa.. Ma in questo caso mi sento un po' spiazzato fino dai primi passaggi
Io porrei $x-2=y$, da cui segue che $\text{d}x=\text{d}y$; quindi hai che l'integrale di partenza (cerco di scrivere tutti i passaggi almeno hai i calcoli) è uguale a
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{y^{\frac{2}{7}}[(2(y+2)^2+1)^{\frac{1}{5}}-2]}{(y+2)^a[(3(y+2)+2)^{\frac{1}{3}}-2]} \text{d}y=\int_{0}^{+\infty} \frac{y^{\frac{2}{7}}[(2(y^2+4y+4)+1)^{\frac{1}{5}}-2]}{(y+2)^a[(3y+6+2)^{\frac{1}{3}}-2]}\text{d}y=$$
$$=\int_{0}^{+\infty} \frac{y^{\frac{2}{7}}[(2y^2+8y+8+1)^{\frac{1}{5}}-2]}{(y+2)^a[(3y+8)^{\frac{1}{3}}-2]}\text{d}y=\int_{0}^{+\infty} \frac{y^{\frac{2}{7}}[(2y^2+8y+9)^{\frac{1}{5}}-2]}{(y+2)^a[(3y+8)^{\frac{1}{3}}-2]}\text{d}y$$
A questo punto notiamo che per $y \to 0^+$, risulta che $(2y^2+8y+9)^{\frac{1}{5}}-2 \to 9^{\frac{1}{5}}-2$ e che $(y+2)^a \to 2^a$; perciò per la convergenza è rilevante soltanto vedere cosa succede a $g(y):=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{(3y+8)^{\frac{1}{3}}-2}$.
Riscriviamo $g$ raccogliendo $8$ nella potenza $\frac{1}{3}$ al denominatore, ottenendo così
$$g(y)=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{2(\frac{3}{8}y+1)^{\frac{1}{3}}-2}$$
Sviluppiamo con Taylor la potenza $\frac{1}{3}$, ottenendo
$$g(y)=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{2(\frac{3}{8}y+1)^{\frac{1}{3}}-2}=g(y)=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{2+2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}y+o(y)-2}=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{\frac{1}{4}y+o(y)}=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{\frac{1}{4}y\left(1+\frac{o(y)}{\frac{1}{4}y}\right)}=$$
$$=\frac{4}{y^{\frac{5}{7}}\left(1+\frac{o(y)}{\frac{1}{4}y}\right)}$$
Salvo miei errori di conto hai praticamente fatto, basta fare un confronto asintotico con $h(y):=\frac{4}{y^{\frac{5}{7}}$.
Per $y \to +\infty$ è molto più semplice, penso tu non abbia problemi lì.
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{y^{\frac{2}{7}}[(2(y+2)^2+1)^{\frac{1}{5}}-2]}{(y+2)^a[(3(y+2)+2)^{\frac{1}{3}}-2]} \text{d}y=\int_{0}^{+\infty} \frac{y^{\frac{2}{7}}[(2(y^2+4y+4)+1)^{\frac{1}{5}}-2]}{(y+2)^a[(3y+6+2)^{\frac{1}{3}}-2]}\text{d}y=$$
$$=\int_{0}^{+\infty} \frac{y^{\frac{2}{7}}[(2y^2+8y+8+1)^{\frac{1}{5}}-2]}{(y+2)^a[(3y+8)^{\frac{1}{3}}-2]}\text{d}y=\int_{0}^{+\infty} \frac{y^{\frac{2}{7}}[(2y^2+8y+9)^{\frac{1}{5}}-2]}{(y+2)^a[(3y+8)^{\frac{1}{3}}-2]}\text{d}y$$
A questo punto notiamo che per $y \to 0^+$, risulta che $(2y^2+8y+9)^{\frac{1}{5}}-2 \to 9^{\frac{1}{5}}-2$ e che $(y+2)^a \to 2^a$; perciò per la convergenza è rilevante soltanto vedere cosa succede a $g(y):=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{(3y+8)^{\frac{1}{3}}-2}$.
Riscriviamo $g$ raccogliendo $8$ nella potenza $\frac{1}{3}$ al denominatore, ottenendo così
$$g(y)=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{2(\frac{3}{8}y+1)^{\frac{1}{3}}-2}$$
Sviluppiamo con Taylor la potenza $\frac{1}{3}$, ottenendo
$$g(y)=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{2(\frac{3}{8}y+1)^{\frac{1}{3}}-2}=g(y)=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{2+2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}y+o(y)-2}=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{\frac{1}{4}y+o(y)}=\frac{y^{\frac{2}{7}}}{\frac{1}{4}y\left(1+\frac{o(y)}{\frac{1}{4}y}\right)}=$$
$$=\frac{4}{y^{\frac{5}{7}}\left(1+\frac{o(y)}{\frac{1}{4}y}\right)}$$
Salvo miei errori di conto hai praticamente fatto, basta fare un confronto asintotico con $h(y):=\frac{4}{y^{\frac{5}{7}}$.
Per $y \to +\infty$ è molto più semplice, penso tu non abbia problemi lì.
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