Integrale, aiuto richiesto
Salve a tutti,
per favore se potreste darmi una traccia su come risolvere questo integrale, perché tra sostituzioni e integrazioni per parti non riesco a chiudere i calcoli.
$\int (x*arctan x)/(1+x^2) dx$
Grazie
per favore se potreste darmi una traccia su come risolvere questo integrale, perché tra sostituzioni e integrazioni per parti non riesco a chiudere i calcoli.
$\int (x*arctan x)/(1+x^2) dx$
Grazie
Risposte
Poni $arctan(x) = z$. Hai allora $1/(x^2 + 1) dx = dz$ ed il tuo integrale diventa $int z * tan(z) dz$...
Sarà la stanchezza, ma mi sa che sarebbe meglio se mi scrivessi il procedimento fino alla fine, non riesco a venirne a capo.
Grazie ancora
Grazie ancora
Il regolamento mi impone di aiutarti a risolverlo (non di risolverlo).
In ogni caso ti ho messo su una strada più agevole. Perché non provi per parti e non posti i passaggi che riesci a svolgere fino a quello in cui ti blocchi?
In ogni caso ti ho messo su una strada più agevole. Perché non provi per parti e non posti i passaggi che riesci a svolgere fino a quello in cui ti blocchi?
Guarda StefanoS, dubito che la funzione \(\frac{x\arctan x}{1+x^2}\) sia integrabile elementarmente... Sei proprio sicuro di dover calcolare l'integrale indefinito?
Il libro lo da come esercizio sugli integrali indefiniti dopo le lezioni sulla sostituzione e sulla integrazione per parti.
Provo a postare quello che sono riuscito a fare:
$\int (x*arctan x) /(1+x^2) dx$
ponendo $t = arctan x$
$\int t*tan t dt$
espletando $tan t = sin t /(cos t)$ e procedendo per parti
$\int t*tan t dt = \int t* sin t /(cos t) dt = x^2/2 * sin x /(cos x) - \int x^2/2 * 1/(cos^2 x) dt = x^2/2 * tan x - 1/2 \int x^2/(cos^2 x) dt$
oppure
$\int t*tan(t) dt = \int t* sin(t)/cos(t) dt = -t * log|cos t| - \int log cos t dt$
oppure una integrazione per parti che mi porta a dovere risolvere
$x/2 * arctan x - 1/2 * \int arctan^2 t dt$
(a meno di qualche segno sfuggito al controllo nella stanchezza... oltre alla confusione tra $x$ e $t$... mi dispiace ma sono assonnato)
oppure qualche altra integrazione per parti che però non mi porta da nessuna parte...
nemmeno Derive sa aiutarmi... come fate a riconoscere quando di un integrale esiste la forma chiusa e quando non esiste?
Provo a postare quello che sono riuscito a fare:
$\int (x*arctan x) /(1+x^2) dx$
ponendo $t = arctan x$
$\int t*tan t dt$
espletando $tan t = sin t /(cos t)$ e procedendo per parti
$\int t*tan t dt = \int t* sin t /(cos t) dt = x^2/2 * sin x /(cos x) - \int x^2/2 * 1/(cos^2 x) dt = x^2/2 * tan x - 1/2 \int x^2/(cos^2 x) dt$
oppure
$\int t*tan(t) dt = \int t* sin(t)/cos(t) dt = -t * log|cos t| - \int log cos t dt$
oppure una integrazione per parti che mi porta a dovere risolvere
$x/2 * arctan x - 1/2 * \int arctan^2 t dt$
(a meno di qualche segno sfuggito al controllo nella stanchezza... oltre alla confusione tra $x$ e $t$... mi dispiace ma sono assonnato)
oppure qualche altra integrazione per parti che però non mi porta da nessuna parte...
nemmeno Derive sa aiutarmi... come fate a riconoscere quando di un integrale esiste la forma chiusa e quando non esiste?
Ormai vado "a naso"... E mi aiuto con Mathematica. 
Comunque, detto francamente, secondo me c'è qualcosa che decisamente non torna col tuo integrale... Forse c'è un errore di stampa.
Non ci sono le soluzioni sul libro?
Che libro è? (così, se ce l'ho, ci dò un'occhiata...)
Comunque, detto francamente, secondo me c'è qualcosa che decisamente non torna col tuo integrale... Forse c'è un errore di stampa.
Non ci sono le soluzioni sul libro?
Che libro è? (così, se ce l'ho, ci dò un'occhiata...)
Caponnetto-Catania, il volumetto sugli integrali, pag 38, esercizio 3e
Non ce l'ho... Bisognerebbe chiedere a qualche forumista siciliano (pare che questo libro sia adottato solo da quelle parti, perché già l'ho sentito nominare altre volte).
mi sa che hai ragione sull'errore di stampa, perchè gli integrali successivi li risolvo senza problemi;
certo che senza aiuto avrei potuto passarci la notata...
certo che senza aiuto avrei potuto passarci la notata...
... Come quando al liceo proposi con una buona dose di malignità, ad un mio compagno, di risolvere $int sin(x)/x dx$ (elementarmente).
"StefanoS":
mi sa che hai ragione sull'errore di stampa, perchè gli integrali successivi li risolvo senza problemi;
certo che senza aiuto avrei potuto passarci la notata...
Forse è \(x^2\) al posto di \(x\) al numeratore... Insomma credo sia decisamente:
\[
\int \frac{x^2}{1+x^2}\ \arctan x\ \text{d} x
\]
l'integrale corretto.
e infatti quello riesco a risolverlo...
$arctan x * (x -1/2 arctan x) - 1/2 log(1+x^2) + c$
$arctan x * (x -1/2 arctan x) - 1/2 log(1+x^2) + c$
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