Integrale aiuto

[axl_1986]

sto cercando di risolvere questa integrale:


$int((x^2-x)log (2/(1-x))dx)$

io ho integrato per parti quindi:

$log(2/(1-x))*(x^3/3-x^2/2)-int(1/(1-x) int(x^2-x)dx)$

giusto?

poi procedo..

$log(2/(1-x))*(x^3/3-x^2/2)-1/6int((2x^3-3x^2)/(1-x)dx)$

giusto?

ora faccio la divisione, quindi:

$int((2x^3-3x^2)/(1-x)dx) = int((-2x^2-x)+x/(1-x))$

giusto ora provo a risolvere questa nuova integrale:

$-2x^3/3-x^2/2+int(x/(1-x)dx)$

fin qui tutto corretto?
come integro l'ultima funzione? Procedo per parti?

[fabry1985mi]

Aggiungi e togli 1 a numeratore e vedrai che la primitiva si trova facilmente!

[axl_1986]

ok allora ho fatto in questo modo:

$-1int((-x+1)/(1-x)) + int(1/(1-x))$

giusto?

quindi poi la soluzione sarebbe $-x+log(1-x)$ giusto?

ma tutto il resto del procedimento era corretto?

[moreno88]

scusami..ma nn puoi semplificare all inizio?
$int((x^2-x)log2/(1-x)dx)= log2intx(x-1)/(1-x)dx = -log2int x(1-x)/(1-x)dx = -log2int x dx = -log2((x^2)/2) + c

[fabry1985mi]

"axl_1986":sto cercando di risolvere questa integrale:


$int((x^2-x)log (2/(1-x))dx)$

io ho integrato per parti quindi:

$log(2/(1-x))*(x^3/3-x^2/2)-int(1/(1-x) int(x^2-x)dx)$

Credo che qui ci sia già un errore: non credi dovrebbe venire:

$log(2/(1-x))*(x^3/3-x^2/2)-int(x^3/3-x^2/2)d/(dx)[log(2/(1-x))]$

In ogni caso credo che questa strada si rivelerà infruttuosa...

[axl_1986]

"fabry1985mi":[quote="axl_1986"]sto cercando di risolvere questa integrale:


$int((x^2-x)log (2/(1-x))dx)$

io ho integrato per parti quindi:

$log(2/(1-x))*(x^3/3-x^2/2)-int(1/(1-x) int(x^2-x)dx)$

Credo che qui ci sia già un errore: non credi dovrebbe venire:

$log(2/(1-x))*(x^3/3-x^2/2)-int(x^3/3-x^2/2)d/(dx)[log(2/(1-x))]$

In ogni caso credo che questa strada si rivelerà infruttuosa...[/quote]

No ma scusa ho applicato la regola dell'integrazione per parti.. cosa ho sbagliato? La regola è quella... ovvero:

$f(x) * int(g(x)dx)-int(f'(x)dx*intg(x))$

tenendo presente che f(x) è la funzione che non riusciamo ad integrare..

[fabry1985mi]

Non vorrei sbagliarmi, ma sono praticamente certo che la tua formula dell'integrazione per parti sia sbagliata...

http://it.wikipedia.org/wiki/Integrazione_per_parti

[axl_1986]

a me sembra corretta aspettiamo il giudizio di qualcuna altro.. io la mia l'ho presa da qui http://www.ripmat.it/mate/c/ck/ckdg.html

[fabry1985mi]

Infatti questa formula è giusta, ma non l'ho mai vista prima (ecco perché mi pareva sbagliato ):

$f(x)=log(2/(1-x))$ e $g(x)=x^2-x$

Dunque:

$int(x^2-x)*log (2/(1-x))dx=log(2/(1-x))*int(x^2-x)dx-int{d/(dx)[log(2/(1-x))]*int(x^2-x)dx}dx=log(2/(x-1))*(x^3/3-x^2/2)-int[(1-x)/2*(-2)/(1-x)^2*(-1)*(x^3/3-x^2/2)]dx=$

$=log(2/(x-1))*(x^3/3-x^2/2)-int[1/(1-x)*(x^3/3-x^2/2)]dx$

Ed è dove se arrivato tu.
Gli altri conti non ho tempo di farli, ma fino a qui credo sia giusto.

Consiglio: usa quella standard perché questa rende il tutto poco leggibile a causa degli integrali multipli uno dopo l'altro...

[axl_1986]

ok..qualcuno sa dirmi se il resto dell'integrale è corretto?

[fax1]

la formula è $f(x)*g(x)$-$\intf'(x)*g(x)$

[fax1]

quindi viene: $(x^2-x)log(2/1-x) - 2\int(1)/(x-1)(x^2-x)dx$ quindi metti in evidenza una x nell'integrale e semplifichi e rimane: $(x^2-x)log(2/1-x) -x^2+c$

[axl_1986]

aiuto nn ci capisco più nulla

allora la formula dell'integrazione per parti da wikipedia è questa: $ \int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx $ quindi g(x) deve essere integrato prima, per questo non credo che $(x^2-x)$ possa essere lasciato così e poi semplificato..

[fabry1985mi]

$int[1/(1-x)*(x^3/3-x^2/2)]dx=1/6int[(2x^3-3x^2)/(1-x)]dx=1/6int[((1-x)*(-2x^2+x+1)-1)/(1-x)]dx=1/6int[-2x^2+x+1+1/(x-1)]dx=1/6(2/3x^3+x^2+x+log|x-1|)$

Comunque prova a derivare e capisci subìto se è giusto.

[axl_1986]

ok sembra uguale alla mia soluzione..tranne qualche segno.. ora controllo cmq grazie..

[axl_1986]

ok..ora ho fatto questa è corretta?

$int(x/(x+1)+log^2x dx)$

ho fatto così

$int(x/(x+1)dx)+int(log^2x dx)$

il primo integrale aggiungento e sottraendo 1 viene:

$x-log(x+1)$

al secondo integrale applico l'integrazione per parti:

$log^2x*x^2/2-int(2logx*1/x*x^2/2 dx)$

giusto? da cui...

$int(xlogx dx)$

applico ancora l'integrazione per parti:

$logx*x^2/2-int(1/x*x^2/2dx)$

quindi il risultato finale:

$x-log(x+1)+log^2x*x^2/2-logx*x^2/2-1/2x^2/2$

sperando di non aver dimenticato nulla..

[fabry1985mi]

Adesso potrei calcolarteli tutti, ma sarebbe poco interessante soprattutto con gli integrali; prova a derivare la primitiva e hai un controllo immediato.