Integrale aiuto

[tizianof]

(x^2+1)/(x^alfa(x^3+x+1))?
questo integrale indefinito da 0 a inf mi dite in base a alfa in quali valori converge e in quali non?

[ciampax]

Dunque, l'integrale mi sembra questo

[math]\int_0^{+\infty}\frac{x^2+1}{x^\alpha(x^3+x+1)}\ dx[/math]

Al fine di determinare la convergenza ricordiamo che valgono i seguenti due fatti:

FATTO 1)

[math]\int_0^a f(x)\ dx[/math]

converge se e solo se

[math]f(x)\sim\frac{1}{x^\alpha}[/math]

per

[math]x\to 0[/math]

con

[math]\alpha1[/math]

Analizziamo allora i due casi:

1) per

[math]x\to 0[/math]

abbiamo

[math]f(x)\sim\frac{1}{x^\alpha\cdot 1}=\frac{1}{x^\alpha}[/math]

e quindi imponiamo

[math]\alpha1[/math]

da cui

[math]\alpha>0[/math]

Considerando i risultati dei due casi, possiamo concludere che l'integrale converge quando [math]0