Integrale aiuto!!!
Ho l'integrale improprio da 0 a +inf di questa funzione: (x*LN(x))/(x^5+1)
Il quesito dell'esercizio mi chiede solo di discutere la convergenza --> e' giusto compararla con la funzione + grossa (x*LN(x))/(x^5)??? ...visto ke quest'ultima converge convargera anke quella data o no???
E cmq...se volessi calcolare il valore dell'integrale improprio come si fa a risolverlo??...io c'ho provato ma con scarsi risultati!! [xx(]
Il quesito dell'esercizio mi chiede solo di discutere la convergenza --> e' giusto compararla con la funzione + grossa (x*LN(x))/(x^5)??? ...visto ke quest'ultima converge convargera anke quella data o no???
E cmq...se volessi calcolare il valore dell'integrale improprio come si fa a risolverlo??...io c'ho provato ma con scarsi risultati!! [xx(]
Risposte
L'integrale in oggetto e' improprio solo in +\infty, dal momento che x log(x) tende a 0 per x che tende a 0. La funzione x log(x)/(x^5+1) e' maggiorata da x log(x)/x^5=log(x)/x^4 (come dicevi anche tu in un linguaggio poco preciso). log(x) e' anche maggiorato da x definitivamente, per cui il tutto e' definitivamente maggiorato da 1/x^3, che ha integrale improprio in +\infty convergente.
Quanto al calcolo esatto della primitiva, temo non si possa fare, ed infatti non era richiesto.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Quanto al calcolo esatto della primitiva, temo non si possa fare, ed infatti non era richiesto.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Si scusa io l'ho scritto in un linguaggio discorsivo.
Cmq se per ipotesi l'integrale fosse indefinito...come si fa a svolgere il calcolo??? [xx(]
Cmq se per ipotesi l'integrale fosse indefinito...come si fa a svolgere il calcolo??? [xx(]
Temo che la funzione postata non ammetta primitive elementari.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Non so se serve, ma indico la
soluzione 'numerica'(con MathCad).
Si e' diviso la sommatoria fra 0 e 1 (parte negativa)
poi fra 1 e 5 (parte positiva, oltre e' praticamente =0).
Per il resto le procedura e' talmente banale da non
richiedere spiegazioni.
soluzione 'numerica'(con MathCad).
Si e' diviso la sommatoria fra 0 e 1 (parte negativa)
poi fra 1 e 5 (parte positiva, oltre e' praticamente =0).
Per il resto le procedura e' talmente banale da non
richiedere spiegazioni.
quote:
Originally posted by Luca.Lussardi
Temo che la funzione postata non ammetta primitive elementari.
Scusa...ma cosa significa?? [:I]
Significa che non una primitiva di quella funzione non si puo' scrivere come combinazione di funzioni note. Attenzione: non sto dicendo che e' molto difficile trovarla, ma e' impossibile.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Attenzione , come dice Luca, è impossibile trovare la primitiva,nel senso di scriverla come combinazione (finita) di funzioni note, MA ESISTE !! Non sappiamo rappresentarla !
Sarebbe un po' come se si volesse trovare la primitiva di 1/x , SENZA aver prima introdotto e definito la funzione log x : non si saprebbe esprimerla , ma la primitiva esiste .
Camillo
Sarebbe un po' come se si volesse trovare la primitiva di 1/x , SENZA aver prima introdotto e definito la funzione log x : non si saprebbe esprimerla , ma la primitiva esiste .
Camillo
Quindi significa che ogni funzione ha 1 sua primitiva solo che in certi casi non si riesce a rappresentare. Ok ho capito grazie.
Ma questo cercare di "dare una forma" ad 1 primitiva di qualsiasi funzione e' fonte di studi che si stanno svolgendo attualmente oppure ci si "arresi" e si usa il computer per approssimare?? (p.s. spero di essermi spiegato)
Ma questo cercare di "dare una forma" ad 1 primitiva di qualsiasi funzione e' fonte di studi che si stanno svolgendo attualmente oppure ci si "arresi" e si usa il computer per approssimare?? (p.s. spero di essermi spiegato)
Per gatsu e per chiunque abbia voglia di leggerlo :
INTEGRABILITA'
In generale non è vero che qualunque funzione sia integrabile, cioè
che esistano primitive di qualunque funzione.
La cosa non è banale perchè , se è : F(x)= integrale di f(x)dx ,
questo equivale a dire : F'(x) = f(x); l'esistenza della primitiva
F(x) dipende quindi dalla risolubilità dell'equazione differenziale
sopra indicata : F'(x) = f(x).
Una funzione è integrabile se sono verificate certe condizioni .
Una condizione sufficiente per garantire l'integrabilità di una
funzione f(x) è che essa sia continua.
Si può estendere quanto sopra al caso di funzioni discontinue purchè
le discontinuità non siano nè "troppe" nè "troppo brutte"[ non si
scandalizzino i puristi].
Più precisamente :
Sia f : [a,b] --> R continua su [a,b] tranne che in un numero finito
di punti di salto o di discontinuità eliminabile
(le funzioni con queste caratteristiche sono chiamate generalmente
continue): allora f è integrabile su [a,b].
E' da notare che cambiando il valore della funzione integranda in un
numero finito di punti, il valore dell'integrale non cambia .
Come conseguenza di questa proprietà l'integrale di una funzione
generalmente continua è lo stesso qualunque siano i valori che essa
assume nei punti di discontinuità; questo giustifica una scrittura
del tipo : integrale tra a e b di x*dx/|x| in cui non si specifica il valore assunto dalla funzione integranda in x = 0.
PRIMITIVE NON ELEMENTARI
Si dicono funzioni elementari quelle funzioni che si ottengono
combinando le funzioni fondamentali(costante, x , sinx ,e^x etc.) con un numero finito di operazioni [ sia algebriche che di composizione (sin(e^x)) o inversione( arcsin x,ln x)].
Naturalmente una funzione elementare può anche essere molto
complicata : in questo senso elementare non vuol dire facile.
E' anche chiaro che se una funzione elementare è derivabile in un
intervallo, la sua derivata è ancora elementare.
Per quanto riguarda invece la primitiva di una funzione elementare
f(x) continua su un certo intervallo, si possono avere due casi :
1) f(x) ammette primitive elementari : è cioè integrabile
elementarmente . Fanno parte di questa categoria le funzioni con
integrale immediato,le funzioni razionali,alcuni tipi di
differenziali binomi e poche altre classi di funzioni, e inoltre
tutte quelle funzioni il cui integrale si riconduce ai precedenti con sostituzioni "elementari".
2) f(x) non ammette primitive elementari (ma le primitive esistono):
non è cioè integrabile elementarmente .
Esempi di questo tipo sono :
e^(kx^2) , [e^(kx)]/x [ k diverso da 0 ]; sinx/x; cosx/x; 1/lnx;
sin(x^2); cos(x^2) .
e quelle il cui integrale si riconduce ai precedenti.
E' da notare che queste funzioni ammettono intervalli di continuità
in cui sono dotate di primitive , ma è stato dimostrato che queste
primitive non sono rappresentabili come funzioni elementari.
Tali primitive ammettono altre rappresentazioni, tra cui la
rappresentazione integrale ( cioè come funzione integrale) e alcune
di esse sono talmente usate che hanno un nome e un simbolo speciale.
Ad esempio è il caso della funzione degli errori(di Gauss) :
erf(x) = [2/sqr(pi)]*integrale tra 0 e x di e^(-t^2)*dt,con x appart. a R., funzione largamente usata in probabilità e statistica .
Le funzioni integrali non elementari si possono studiare e
disegnare come quelle elementari, e tabulare valutando numericamente
l'integrale.
Chi volesse, provi a dire quali delle seguenti funzioni ammettono
primitive elementari e quali no :
sinx/x^2 ; x*e^(x^2) ; (x^2)*e^(x^2) ; (e^x)*lnx .
Buon divertimento !
Camillo
INTEGRABILITA'
In generale non è vero che qualunque funzione sia integrabile, cioè
che esistano primitive di qualunque funzione.
La cosa non è banale perchè , se è : F(x)= integrale di f(x)dx ,
questo equivale a dire : F'(x) = f(x); l'esistenza della primitiva
F(x) dipende quindi dalla risolubilità dell'equazione differenziale
sopra indicata : F'(x) = f(x).
Una funzione è integrabile se sono verificate certe condizioni .
Una condizione sufficiente per garantire l'integrabilità di una
funzione f(x) è che essa sia continua.
Si può estendere quanto sopra al caso di funzioni discontinue purchè
le discontinuità non siano nè "troppe" nè "troppo brutte"[ non si
scandalizzino i puristi].
Più precisamente :
Sia f : [a,b] --> R continua su [a,b] tranne che in un numero finito
di punti di salto o di discontinuità eliminabile
(le funzioni con queste caratteristiche sono chiamate generalmente
continue): allora f è integrabile su [a,b].
E' da notare che cambiando il valore della funzione integranda in un
numero finito di punti, il valore dell'integrale non cambia .
Come conseguenza di questa proprietà l'integrale di una funzione
generalmente continua è lo stesso qualunque siano i valori che essa
assume nei punti di discontinuità; questo giustifica una scrittura
del tipo : integrale tra a e b di x*dx/|x| in cui non si specifica il valore assunto dalla funzione integranda in x = 0.
PRIMITIVE NON ELEMENTARI
Si dicono funzioni elementari quelle funzioni che si ottengono
combinando le funzioni fondamentali(costante, x , sinx ,e^x etc.) con un numero finito di operazioni [ sia algebriche che di composizione (sin(e^x)) o inversione( arcsin x,ln x)].
Naturalmente una funzione elementare può anche essere molto
complicata : in questo senso elementare non vuol dire facile.
E' anche chiaro che se una funzione elementare è derivabile in un
intervallo, la sua derivata è ancora elementare.
Per quanto riguarda invece la primitiva di una funzione elementare
f(x) continua su un certo intervallo, si possono avere due casi :
1) f(x) ammette primitive elementari : è cioè integrabile
elementarmente . Fanno parte di questa categoria le funzioni con
integrale immediato,le funzioni razionali,alcuni tipi di
differenziali binomi e poche altre classi di funzioni, e inoltre
tutte quelle funzioni il cui integrale si riconduce ai precedenti con sostituzioni "elementari".
2) f(x) non ammette primitive elementari (ma le primitive esistono):
non è cioè integrabile elementarmente .
Esempi di questo tipo sono :
e^(kx^2) , [e^(kx)]/x [ k diverso da 0 ]; sinx/x; cosx/x; 1/lnx;
sin(x^2); cos(x^2) .
e quelle il cui integrale si riconduce ai precedenti.
E' da notare che queste funzioni ammettono intervalli di continuità
in cui sono dotate di primitive , ma è stato dimostrato che queste
primitive non sono rappresentabili come funzioni elementari.
Tali primitive ammettono altre rappresentazioni, tra cui la
rappresentazione integrale ( cioè come funzione integrale) e alcune
di esse sono talmente usate che hanno un nome e un simbolo speciale.
Ad esempio è il caso della funzione degli errori(di Gauss) :
erf(x) = [2/sqr(pi)]*integrale tra 0 e x di e^(-t^2)*dt,con x appart. a R., funzione largamente usata in probabilità e statistica .
Le funzioni integrali non elementari si possono studiare e
disegnare come quelle elementari, e tabulare valutando numericamente
l'integrale.
Chi volesse, provi a dire quali delle seguenti funzioni ammettono
primitive elementari e quali no :
sinx/x^2 ; x*e^(x^2) ; (x^2)*e^(x^2) ; (e^x)*lnx .
Buon divertimento !
Camillo
Anche se l'avvento del pc e dei metodi numerici permette di uscire dall'impasse di ccerte situazioni bisogna ricordare che esistono precisi studi di analis numeriche per determinare entro quali condizioni il calcolo approsimato non sia affetto da errori tali da inficiare il risultato...(ad esempio se consideriamo il metodo di Simposon, ed il metodo dei rettangoli l'integrale viene di fatto trasformato in una sommatoria di un numero finito di termini, ma sommare numeri piccoli e numeri grandi può dare dei problemi...ad esempio se ordiniamo al calcolatore di sommare 1+10000 otteniamo 10001, se facciamo 10000+1 il calcolatore, che usa la rappresentazione floating point, restituisce 100000, perchè la mantissa di questo numero riesce a "nascondere" quella dell'altro. Quindi per integrare numericamente una funzione che tende rapidamente a numeri elevati bisogna avere l'accortezza di far sì che non si perdano le cifre più piccole)
Nessuno si cimenta ?
Camillo
Camillo
Adesso mi cimento...1 attimo!! [:D] ...ho dovuto studiare altre robine! [:P]
Un altro esempio ---> ho bisogno di qlc conferma. Se io ho l'integrale da 0 a +inf di: (sin(x) + cos(x))/(x^2+1) per dire che converge basta paragonarla a (sin(x) + cos(x))/(x^2) che e' sicuramente piu' grossa?? Quindi vedendo che a numeratore c'e' una somma di funzioni periodiche che rimarra' sempre all'interno di un certo intervallo posso dire che tutta la funzione tendera' a 0 quindi converge???
( P.S. il fatto di paragonarla a una funzione + grossa l'ho capito, ma nn mi e' chiarissimo come si faccia a capire se un integrale converge [xx(] )
Grazie in anticipo
Ciaooooo
Un altro esempio ---> ho bisogno di qlc conferma. Se io ho l'integrale da 0 a +inf di: (sin(x) + cos(x))/(x^2+1) per dire che converge basta paragonarla a (sin(x) + cos(x))/(x^2) che e' sicuramente piu' grossa?? Quindi vedendo che a numeratore c'e' una somma di funzioni periodiche che rimarra' sempre all'interno di un certo intervallo posso dire che tutta la funzione tendera' a 0 quindi converge???
( P.S. il fatto di paragonarla a una funzione + grossa l'ho capito, ma nn mi e' chiarissimo come si faccia a capire se un integrale converge [xx(] )
Grazie in anticipo
Ciaooooo
Riguardo sinx/x^2 ; x*e^(x^2) ; (x^2)*e^(x^2) ; (e^x)*lnx.
Secondo me l'unica che ammette primitiva elementare e' x*e^(x^2). [:I]
Secondo me l'unica che ammette primitiva elementare e' x*e^(x^2). [:I]
Esatto e l'integrale vale : (1/2)(e^(x^2))+C.
Camillo
Camillo
quote:
Originally posted by camillo
Le funzioni integrali non elementari si possono studiare e
disegnare come quelle elementari, e tabulare valutando numericamente
l'integrale.
Cosa si intende con "tabulare"??? ---> studiare il grafico e poi dividere l'intervallo interessato di quest'ultimo in un certo numero di sezioni per poi poter calcolare l'area?? [?] ...cioe' si approssima facendo conti a mano??
non esattamente... se si vuole tracciare il grafico di una unzione integrale, ossia di una funzione del tipo f(x)=int[a-x](g(t)dt) bisogna suddividere l'intervallo in cui si vuole tracciare il grafico in un certo numero di punti, solitamente equidistanti ed in numero tale chela spezzata che derica da questo grafico approssimato si possa confondere con il grafico della funzione stessa, poi per ciascun punto xi, fra quelli precedentemente segnati si calcola l'integrale tra a ed xi e così si ottiene il grafico. Di solito si usano metodi numerici con il calcolatore,ad esempio il metodo di cavalieri simpson
x gatsu : alla tua domanda ha già risposto giovanni ; tabulare significa mettere in una tabella i valori dell'integrale, una volta calcolati " a manina", ora per fortuna elaborati al calcolatore.
Aggiungo qualche commento ai vari integrali non elementari :
* int (sinx/x^2)*dx ; usando il metodo di derivazione per parti diventa : int[sin x*D(-1/x)]*dx = -sinx/x +int(cosx/x)*dx : ma cosx/x NON è integrabile elementarmente.
* int[(x^2)*(e^(x^2))]*dx ; usando ancora il metodo di cui sopra diventa : int[x*D(e^(x^2)/2)]*dx = (x/2)*(e^(x^2))+
-(1/2)*int[e^(x^2)]*dx , ma e^(x^2)NON è integrabile elementarmente.
* int[(e^x)*lnx]*dx ; sempre con lo stesso metodo si ha :
int[ lnx*D(e^x)]*dx = (e^x)*lnx - int[(e^x)/x]*dx , ma e^x/x NON è integrabile elementarmente.
Camillo
Aggiungo qualche commento ai vari integrali non elementari :
* int (sinx/x^2)*dx ; usando il metodo di derivazione per parti diventa : int[sin x*D(-1/x)]*dx = -sinx/x +int(cosx/x)*dx : ma cosx/x NON è integrabile elementarmente.
* int[(x^2)*(e^(x^2))]*dx ; usando ancora il metodo di cui sopra diventa : int[x*D(e^(x^2)/2)]*dx = (x/2)*(e^(x^2))+
-(1/2)*int[e^(x^2)]*dx , ma e^(x^2)NON è integrabile elementarmente.
* int[(e^x)*lnx]*dx ; sempre con lo stesso metodo si ha :
int[ lnx*D(e^x)]*dx = (e^x)*lnx - int[(e^x)/x]*dx , ma e^x/x NON è integrabile elementarmente.
Camillo
E' possibile trovare il valore numerico esatto senza ricorrere all'approssimazione numerica di molti di questi integrali impropri SENZA conoscerne la primitiva.
Per calcolare questi integrali e' necessario prolungare sul piano complesso le funzioni (facendole diventare di variabile complessa) (esiste tutta una teoria su come e perche' si puo' fare) una volta fatto si usa il cosi' detto "teorema dei residui" che in pratica dice che il valore di un integrale curvilineo su una curva chiusa e' uguale ai coefficenti di x^-1 degli sviluppi di Laurent (come la serie di Taylor solo con le potenze da -00 a +00) nei punti di singolarita' della funzione moltiplicati per 2 pi i (i = unita' immaginaria) e per l'indice di avvolgimento della curva intorno a questi punti (le eventuali singolarita' sull'asse reale hanno un trattamento a parte).
Gli integrali da -00 a +00 o da 0 a +00 si calcolano su curve chiuse (ad esempio semi cerchi) con un lato sull'asse reale. Espandendo all'infinito queste curve e avendo l'accortezza di sceglierle in modo che i contributi fuori dall'asse reale tendano a zero si ottiene l'integrale cercato.
Alcuni esempi di integrali calcolati con questa tecnica:
l'integrale da 0 a +00 di ( log x ) / ( x^(1/2) ( x^2 + 1 ) ) vale ESATTAMENTE -pi^2/( 2^(1/2) 2 )
Un esempio famossissimo sono gli integrali di Fresnel:
l'integrale da 0 a +00 di sin(x^2) ( o del cos tanto hanno lo stesso valore ) = 1/2 ( pi/2 )^(1/2).
L'integrale di e^(-x^2) da -00 a +00 e' stato invece ricavato con tecniche di calcolo in piu' variabili. (dallo stesso Gauss)
Per quanto riguarda il fatto che una funzione sia integrabile. Perche' sia integrabile secondo Lebesgue basta che la funzione sia continua quasi ovunque (a meno di un insieme di misura nulla) e definita su un insieme misurabile (nel senso di Lebesgue) (esiste una condizione anche necessaria ma e' piuttosto lunga da scrivere). Per cui si possono integrare anche funzioni discuntinue in un numero infinito di punti (secondo Lebesgue ma non secondo Riemann o Cauchy). Si puo' dimostrare che cambiando il valore della funzione in un numero infinito ma numerabile di punti il valore dell'integrale non cambia. (Non secondo Riemann perche' un insieme infinito numerabile non e' in genere misurabile secondo Peano-Jordan)
Per calcolare questi integrali e' necessario prolungare sul piano complesso le funzioni (facendole diventare di variabile complessa) (esiste tutta una teoria su come e perche' si puo' fare) una volta fatto si usa il cosi' detto "teorema dei residui" che in pratica dice che il valore di un integrale curvilineo su una curva chiusa e' uguale ai coefficenti di x^-1 degli sviluppi di Laurent (come la serie di Taylor solo con le potenze da -00 a +00) nei punti di singolarita' della funzione moltiplicati per 2 pi i (i = unita' immaginaria) e per l'indice di avvolgimento della curva intorno a questi punti (le eventuali singolarita' sull'asse reale hanno un trattamento a parte).
Gli integrali da -00 a +00 o da 0 a +00 si calcolano su curve chiuse (ad esempio semi cerchi) con un lato sull'asse reale. Espandendo all'infinito queste curve e avendo l'accortezza di sceglierle in modo che i contributi fuori dall'asse reale tendano a zero si ottiene l'integrale cercato.
Alcuni esempi di integrali calcolati con questa tecnica:
l'integrale da 0 a +00 di ( log x ) / ( x^(1/2) ( x^2 + 1 ) ) vale ESATTAMENTE -pi^2/( 2^(1/2) 2 )
Un esempio famossissimo sono gli integrali di Fresnel:
l'integrale da 0 a +00 di sin(x^2) ( o del cos tanto hanno lo stesso valore ) = 1/2 ( pi/2 )^(1/2).
L'integrale di e^(-x^2) da -00 a +00 e' stato invece ricavato con tecniche di calcolo in piu' variabili. (dallo stesso Gauss)
Per quanto riguarda il fatto che una funzione sia integrabile. Perche' sia integrabile secondo Lebesgue basta che la funzione sia continua quasi ovunque (a meno di un insieme di misura nulla) e definita su un insieme misurabile (nel senso di Lebesgue) (esiste una condizione anche necessaria ma e' piuttosto lunga da scrivere). Per cui si possono integrare anche funzioni discuntinue in un numero infinito di punti (secondo Lebesgue ma non secondo Riemann o Cauchy). Si puo' dimostrare che cambiando il valore della funzione in un numero infinito ma numerabile di punti il valore dell'integrale non cambia. (Non secondo Riemann perche' un insieme infinito numerabile non e' in genere misurabile secondo Peano-Jordan)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo