Integrale ad una variabile reale
$\int sin(x)/x *dx$
Sicuramente non va svolto per parti, ho provato a farlo per sostituzione, ma credo di aver sbagliato o di non saper proseguire. Ho sostituito:
$t = sin(x)$
$x = arcsin(t)$
$dx = 1/sqrt((1-t^2)) *2t$
$\int (2*t^2)/(arcsin(t)) * 1/sqrt(1-t^2) *dt $
Su wolframalpha, dice che una primitiva è Sine Integral( Si(x))
Edit:
Ho riorganizzato il tutto in un documento:
https://docs.google.com/document/d/1O5y ... rXfw4/edit
Sperando che sia più comprensibile la richiesta.
Sicuramente non va svolto per parti, ho provato a farlo per sostituzione, ma credo di aver sbagliato o di non saper proseguire. Ho sostituito:
$t = sin(x)$
$x = arcsin(t)$
$dx = 1/sqrt((1-t^2)) *2t$
$\int (2*t^2)/(arcsin(t)) * 1/sqrt(1-t^2) *dt $
Su wolframalpha, dice che una primitiva è Sine Integral( Si(x))
Edit:
Ho riorganizzato il tutto in un documento:
https://docs.google.com/document/d/1O5y ... rXfw4/edit
Sperando che sia più comprensibile la richiesta.
Risposte
Per definizione, quell'oggetto si chiama "integrale seno"
$\Si(x)=\int\frac{\sin x}{x}\ dx$
ed è una funzione che non ammette una primitiva scritta in maniera elementare. Per cui ogni tuo sforzo sarà inutile.
La mia domanda è: cosa richiede l'esercizio o il quesito che stai affrontando? per caso di calcolare l'integrale definito?
$\Si(x)=\int\frac{\sin x}{x}\ dx$
ed è una funzione che non ammette una primitiva scritta in maniera elementare. Per cui ogni tuo sforzo sarà inutile.
La mia domanda è: cosa richiede l'esercizio o il quesito che stai affrontando? per caso di calcolare l'integrale definito?
In effetti, l'esercizio richiede di calcolare l'integrale doppio nel dominio normale Q, dove Q è un quadrilatero di vertici:
$(\pi,\pi),(\pi/2,\pi/2),(\pi/2,\pi),(\pi,2\pi)$
$\int\int_Q siny/y dxdy$
http://grab.by/iVOm
Ora provo a svolgerlo con calma e con le dovute sostituzioni... deve venire 1 come risultato.
$(\pi,\pi),(\pi/2,\pi/2),(\pi/2,\pi),(\pi,2\pi)$
$\int\int_Q siny/y dxdy$
http://grab.by/iVOm
Ora provo a svolgerlo con calma e con le dovute sostituzioni... deve venire 1 come risultato.
Alla fine mi trovo, con dominio normale rispetto ad Y(esplicitamente richiesto dall'esercizio):
$2 +\pi*\int^(2\pi)_\pi siny/y dy -\pi/2 *\int^(\pi)_pi/2 siny/y dy$
$2 +\pi*\int^(2\pi)_\pi siny/y dy -\pi/2 *\int^(\pi)_pi/2 siny/y dy$
Inutile che provi per via diretta ad integrare prima rispetto ad \(y\): non ci puoi riuscire.
Prova, invece, a considerare il tuo dominio come normale ad \(y\) ed a vedere cosa ne viene fuori.
Prova, invece, a considerare il tuo dominio come normale ad \(y\) ed a vedere cosa ne viene fuori.
[img]http://grab.by/iVQu[/img]
Non viene di certo 2-1 = 1 :S ...
Non ho capito cosa intendi.
Non viene di certo 2-1 = 1 :S ...
Non ho capito cosa intendi.
Il dominio rispetto ad Y, l'ho suddiviso in due parti:
[img]http://grab.by/iVS0[/img]
[img]http://grab.by/iVRS[/img]
e poi ho sommato i due integrali doppi. Ma nada...
[img]http://grab.by/iVS0[/img]
[img]http://grab.by/iVRS[/img]
e poi ho sommato i due integrali doppi. Ma nada...
Dopo aver integrato il primo integrale rispetto a dx, in entrambi gli integrali doppi, mi trovo:
$\int^(2*\pi)_pi siny/y * (\pi -y/2) *dy + \int^(\pi)_\pi/2 siny/y * (y-\pi/2) * dy$ =
= $-1/2*[-cos(y)]^(2\pi)_\pi + \pi*\int^(2\pi)_pi siny/y dy + [-cosy]^(\pi)_\pi/2 -\pi/2\int^(\pi)_\pi/2 siny/y dy$ =
= $1 +\pi*\int^(2\pi)_pi siny/y dy + 1 -\pi/2\int^(\pi)_\pi/2 siny/y dy$
$\int^(2*\pi)_pi siny/y * (\pi -y/2) *dy + \int^(\pi)_\pi/2 siny/y * (y-\pi/2) * dy$ =
= $-1/2*[-cos(y)]^(2\pi)_\pi + \pi*\int^(2\pi)_pi siny/y dy + [-cosy]^(\pi)_\pi/2 -\pi/2\int^(\pi)_\pi/2 siny/y dy$ =
= $1 +\pi*\int^(2\pi)_pi siny/y dy + 1 -\pi/2\int^(\pi)_\pi/2 siny/y dy$
Ho riorganizzato il tutto in unico documento, sperando che sia più comprensibile la richiesta.
https://docs.google.com/document/d/1O5y ... rXfw4/edit
https://docs.google.com/document/d/1O5y ... rXfw4/edit
Secondo me, a meno di procedere con lo scrivere lo sviluppo della funzione seno in serie di potenze, non vai da nessuna parte. I conti che hai fatto mi sembrano tutti corretti e, in ogni modo, ti serve integrare quella funzione.
"ciampax":
Secondo me, a meno di procedere con lo scrivere lo sviluppo della funzione seno in serie di potenze, non vai da nessuna parte. I conti che hai fatto mi sembrano tutti corretti e, in ogni modo, ti serve integrare quella funzione.
Quindi, credi che uno dei modi per poter riuscire ad integrare correttamente sia espandere la funzione seno in serie di potenze? Non ne sarei assolutamente capace.
Mmmmm.... dunque, vediamo di capire. I metodi di integrazione che avete usato si basano tutti sul calcolo diretto? Quindi niente integrazione per serie? Allora ci devo pensare a meno che gugo non ritorni. Ora come ora, sinceramente, non mi vengono altre idee.
"ciampax":
Mmmmm.... dunque, vediamo di capire. I metodi di integrazione che avete usato si basano tutti sul calcolo diretto? Quindi niente integrazione per serie? Allora ci devo pensare a meno che gugo non ritorni. Ora come ora, sinceramente, non mi vengono altre idee.
Esatto. Ma voglio precisare, che è un esercizio che ho prelevato dal "Marcellini-Sbordone", è probabile che alcuni di questi siano risolvibili, come hai detto, da ben determinate tecniche di integrazione.(A me sconosciute) Ho fatto in AM1, le serie di taylor(le notevoli), in particolare Mac-Laurin in un intorno di $X_0 = 0$ per il calcolo dei limiti di funzione. Criteri di Convergenza e divergenza delle serie numeriche... credo nulla a cui tu ti stia riferendo.
Marcellini-Sbordone volume? E pagina?
L'idea è che sia sbagliato il testo dell'esercizio, ovviamente.
Da dove l'hai preso?
Da dove l'hai preso?
"Esercitazioni di Matematica" - Marcellini-Sbordone 2° Volume parte seconda
Pagina 168, n. 3.7
Pagina 168, n. 3.7
Trovato: ma i vertici sono i seguenti:
$(\pi/2,\pi),\ (\pi,\pi),\ (\pi,2\pi),\ (2\pi,2\pi)$.
Il dominio, normale rispetto ad $y$, diventa
$\pi\le y\le 2\pi,\qquad y/2\le x\le y$
e quindi
$\int\int_Q\frac{\sin y}{y}\ dy=\int_\pi^{2\pi}\int_{y/2}^{y}\frac{\sin y}{y}\ dx\ dy=\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin y}{y}(y-y/2)\ dy=1/2\int_pi^{2\pi}\sin y\ dy=1/2[-\cos y]_\pi^{2\pi}=-1$
Tu avevi trovato i vertici scritti precedentemente?
$(\pi/2,\pi),\ (\pi,\pi),\ (\pi,2\pi),\ (2\pi,2\pi)$.
Il dominio, normale rispetto ad $y$, diventa
$\pi\le y\le 2\pi,\qquad y/2\le x\le y$
e quindi
$\int\int_Q\frac{\sin y}{y}\ dy=\int_\pi^{2\pi}\int_{y/2}^{y}\frac{\sin y}{y}\ dx\ dy=\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin y}{y}(y-y/2)\ dy=1/2\int_pi^{2\pi}\sin y\ dy=1/2[-\cos y]_\pi^{2\pi}=-1$
Tu avevi trovato i vertici scritti precedentemente?
L'interprete non funziona ed ho difficoltà a leggere ciò che hai scritto. Comunque i vertici sono quelli che ho riportato in qualche post precedente. E cmq anche se i vertici siano sbagliati, il risultato non coinciderebbe con quello del libro.(1 e non -1)
Sulla mia copia del Marcellini-Sbordone sono questi. Secondo me, quando hanno fatto la nuova edizione, hanno cannato qualcosa. 
P.S.: prova a premere ctrl+r per riattivare le formule.
P.S.: prova a premere ctrl+r per riattivare le formule.
Risolto il problema dell'interprete. Beh, allora mi attengo a ciò che mi dite. Datemi qualche minuto e vi somministro un altro dilemma! 
Maledetti integrali doppi! xD
Maledetti integrali doppi! xD
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