Integrale a variabili separate??

[lattore]

scusapete, mi potete dire se è corretta la risoluzione di questo integrale? $y^{\prime}=arctgxtgy=>y^{\prime}/tgy$ integrando $intydx^'/tgydx=int arctgxdx=>intdy/tgy=1/(1+x^2)=>-lnIcosxI=1/(1+x^2)=>cosy=-1/(1+x^2)

[andar9896]

Non ho ben capito ciò che hai scritto (attenzione all'uso del simbolo del dollaro), ma mi pare che tu abbia scritto che $int arctanx = 1/(1+x^2)+c$, cosa non vera... In più anche la risoluzione di $int 1/tany dy = -log(abs(cosx)) +c$ non mi pare corretta, ma potrei sbagliare ad interpretare. Prova a riscrivere e potremo aiutarti per bene.

[herstein]

Ciao, si tratta chiaramente di un integrale a variabili separabili, ma credo tu abbia svolto male i conti. $ y'=(arcotgx) (tgy) $
Prima cosa di tutto scriviamoci la derivata sotto forma di rapporto di differenziali, $ dy/dx=(arcotgx) (tgy) $
$ 1/(tgy)dy=arcotgx dx $ , passiamo ai rispettivi integrali, concentriamoci sul membro di destra. $ int_ .arcotgx dx $
lo possiamo scrivere come $ int_ . arcotgx * 1 dx $ come derivata prendiamo 1, applicando il per parti, $ xarcotgx int_ .x/(x^2+1) $ moltiplico per 2 e divido per 1/2 $ xarcotgx -1/2int_ . (2x)/(x^2+1) dx $ ottenendo
$ xarcotgx -1/2ln(x^2+1) $ .
Risolviamo il membro di sinistra $ int 1/(tgy)dy $
Questo integrale risulta essere piuttosto banale in quanto posso scrivere $ 1/(tgy) $ come
$ cosy/(seny) $ , calcolo l'integrale
$ int cosy/(seny)dy $ , siccome la derivata del seny= al coseno di y, l'integrale diventa $ int cosy/(seny)dy =ln|seny| +c $
unendo i due risultati ottengo, $ ln|seny|= xarcotgx -1/2ln(x^2+1) +c $
$ seny= e^(xarcotgx -1/2ln(x^2+1) +c $
Sfruttando le proprietà delle potenze e chiamando $ e^c=k $
arrivo a questa forma $ y= arcoseno(e^(xarcotgx -1/2ln(x^2+1) +c)) $
$ y= arcoseno(e^(xarcotgx) /(x^2+1)^(1/2) *e^c)) $
$ y= arcoseno(e^(xarcotgx) /(x^2+1)^(1/2) *k) $

[anto_zoolander]

Praticamente la soluzione è la stessa, herstein, però all'inizio era arcotangente, non arcocotangente.

[herstein]

Ho denotato con arcotg l'arcotangente anche se usualmente non si fa