Integrale a una variabile

[giuppyru-votailprof]

$int cos^2(5x)*sen^4(5x)$

Ho provato a risolverlo per parti ma non trovo soluzione,
ho provato anche con le formule parametriche
ma ottengo integrali ancora più complicati.

Chi puo suggerirmi come risolverlo ?

[giuppyru-votailprof]

Difficile ?? io non riesco proprio a risolverlo

[dott.peppe]

è un macello...puoi usare le formule di bisezione di seno e coseno..quando si hanno perdiodicità si usano quelle

[Hawk88]

Fai la sostituzione $cos^2(5x) = 1 - sen^2(5x)$ in maniera tale che l'integrale diventa:

$ int_()^() [ sen^4(5x) - sen^6(5x) ] dx $

Ora sai proseguire?

[giuppyru-votailprof]

"Hawk88":Fai la sostituzione $cos^2(5x) = 1 - sen^2(5x)$ in maniera tale che l'integrale diventa:

$ int_()^() [ sen^4(5x) - sen^6(5x) ] dx $

Ora sai proseguire?

Ho provato a risolvere per parti $sen^4(5x)$ ma non ci riesco

[giuppyru-votailprof]

nessuno riesce ad aiutarmi ?

[fireball1]

Anzitutto levati dalle scatole quel $5x$ ponendo $5x=y$ (in modo che fuori dall'integrale ti rimane $1/5$).

Conviene integrare i due addendi separatamente. Comincia da $sin^4 y$.

Osserva che

[tex]\sin^4 y=(1-\cos^2 y )\sin^2 y =\sin^2 y-\cos^2 y \sin^2 y = \sin^2 y - \sin^2y\cos y\cdot \cos y[/tex].
Ora il primo addendo lo integri facilmente, per quanto riguarda il secondo puoi procedere per parti,
ponendo $f(y)=sin^2ycosy$ e $g(y)=cos y$. Una volta che integri per parti, ti viene fuori di nuovo un integrale
di $sin^4 y$, che puoi portare a primo membro e sommare a $int sin^4 y$...

[giuppyru-votailprof]

"fireball":Anzitutto levati dalle scatole quel $5x$ ponendo $5x=y$ (in modo che fuori dall'integrale ti rimane $1/5$).

Conviene integrare i due addendi separatamente. Comincia da $sin^4 y$.

Osserva che

[tex]\sin^4 y=(1-\cos^2 y )\sin^2 y =\sin^2 y-\cos^2 y \sin^2 y = \sin^2 y - \sin^2y\cos y\cdot \cos y[/tex].
Ora il primo addendo lo integri facilmente, per quanto riguarda il secondo puoi procedere per parti,
ponendo $f(y)=sin^2ycosy$ e $g(y)=cos y$. Una volta che integri per parti, ti viene fuori di nuovo un integrale
di $sin^4 y$, che puoi portare a primo membro e sommare a $int sin^4 y$...

Risolvendo l'integrale come da te consigliato ottengo $I=3/2*(1/10*(t-sent*cost)-1/15*sen^3t*cost)$ e questa è soltanto la soluzione di $1/5intsen^4t$

ora ho provato a risolvere anche la seconda parte utilizzando lo stesso ragionamento ma ottengo :

$-1/5intsen^6t$ $=$ -1/5intsen^4t*sen^2t$ che sostituendo $sen^2t=1-cos^2t$ diventa :

$-1/5intsen^4t-sen^4t*cos^2t$

ora ridividendo l'integrale , la prima parte la risolvo come prima , ma siccome ho il segno meno rispetto a quella di prima mi ritrovo che si annullano

e la seconda parte è proprio il mio integrale di partenza, cioè è come se mi ritrovassi

$I=1/5*I$ il che non mi è prioprio di aiuto.

[fireball1]

$1/5 int sin^4t dt =1/2 text( di quello che hai scritto tu)$.

[fireball1]

Comunque no, non va bene questo metodo per calcolare il secondo addendo...
Sono integrali davvero pallosi questi... Per il secondo pezzo conviene osservare che $sin^6t=(sin^2t)^3= ((1-cos(2t))/2)^3$,
svolgi il cubo e integri... L'unica piccola difficoltà è integrare $cos^3(2t)$ ma ci si riesce comunque facilmente, sempre nel solito modo...

[fireball1]

Ho parlato da solo o hai capito quello che ho detto?

Nell'ultimo post ho soltanto ricordato dalle formule di bisezione che $sin^2t = (1-cos(2t))/2$...