Integrale a mio parere improponibile

[xml86]

Ragazzi vi sottopongo questo integrale doppio:

$\int int x^2sqrt(x^2+y^2) dxdy$

ove $D:{(x,y) in R : x^2+y^2<=1, x^2-2x+y^2>=0, x^2+2x+y^2>=0, y>=0}$

Grazie infinite

[Gaal Dornick]

Così a naso devi passare in coordinate polari (di centro l'origine) e poi dovrebbe essere semplice, ma non ho fatto i conti.

[xml86]

Ho fatto diversi tentativi per utilizzare le coordinate polari, ma nn riescoa trovare l'insieme normale. Infatti ci sono 3 circonferenze di cui una con centro l'origine, un'altra con centro (1,0) e un'altra con C=(-1,0). Se tu pensi di riuscire a trovare l'insieme spiegami come si fa

[ELWOOD1]

io dividerei il dominio in 2 simmetrici rispetto all'asse y e integrerei in y-semplice.....anche se forse non è la strada più conveniente....anche se non veeo come varia $\rho$ nelle polari

[xml86]

Ho provato anche a fare come dici tu elwood, ma poi esce fuori un casino e non so proprio come andare avanti.
Spero solo che qualcuno riesca a risolverlo.Io mi sono trovato questo integrale 2 giorni fa all'esame di analisi 2 e credo proprio che sia improponibile.


Se qualcuno sa risolverlo datemi una mano.
ciao

[ELWOOD1]

dai che ce la faremo!
ma quasi sicuramente è in polari perchè nell'integrale hai quella radice che si semplificherebbe in un banale $\rho$....il problema è quel dominio....forse sottraendo vari pezzi....ora devo scappare ma t prometto he proverò a scervellarmi

[xml86]

ok grazie allora aspetto il tuo aiuto

[elgiovo]

Potrei sbagliare, ma in coordinate polari trovo i domini

$E_1={(rho,theta)inRR^2:2costheta
dunque l'integrale vale

$int int_D x^2sqrt(x^2+y^2)dxdy=int int_{E_1} rho^3 cos^2thetadrhod theta+int int_{E_2} rho^3 cos^2thetadrhod theta$
$" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "=int_(pi/3)^(pi/2)int_(2costheta)^(1)rho^3cos^2thetadrho d theta+int_(pi/2)^(2/3 pi)int_(-2costheta)^(1)rho^3cos^2thetadrho d theta$
$" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "=1/16(11sqrt3-6pi)$.

[ELWOOD1]

non capisco come fai variare il raggio....il dominio non è questo?

[elgiovo]

Si, il dominio è quello. $rho$ varia, appunto, tra "le circonferenze" $2costheta$ e $1$ nel primo quadrante e tra $-2costheta$ e $1$ nel secondo.

[ELWOOD1]

Grande Elgiovo!è proprio così....io stavo provando a vedere se si poteva considerare solo un dominio....ma credo sia impossibile

[elgiovo]

Purtroppo è un mio (grave) vizio dimenticare gli Jacobiani delle trasformazioni: moltiplicare per $rho$ la funzione integranda e ripetere i calcoli.
PS: viste le simmetrie della funzione e del dominio, si può calcolare l'integrale in uno solo dei domini, proprio come si desiderava.

[Sk_Anonymous]

Beh, mi pare che la funzione integranda sia pari rispetto l'asse delle y perciò dovrebbe bastare integrare su $E_1$ e moltiplicare il risultato per 2