Integrale a due variabili
Ciao a tutti, devo risolvere l'integrale $int e^y(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2dx$; ho provato a risolverlo in questo modo:
$int e^y(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2dx= $ $e^yint (1-(x/y)^2)/[(x/y)^2+1]^2dx=$ quindi pongo $x/y=z$ e $dx/y=dz$, $dx=ydz$ ottenendo:
$ye^y int (1-z^2)/(z^2+1)^2dz =$ $ye^y int 1/(z^2+1)^2dz -ye^yint z^2/(z^2+1)^2dz$; però così facendo diventa troppo complicato, come devo fare?
$int e^y(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2dx= $ $e^yint (1-(x/y)^2)/[(x/y)^2+1]^2dx=$ quindi pongo $x/y=z$ e $dx/y=dz$, $dx=ydz$ ottenendo:
$ye^y int (1-z^2)/(z^2+1)^2dz =$ $ye^y int 1/(z^2+1)^2dz -ye^yint z^2/(z^2+1)^2dz$; però così facendo diventa troppo complicato, come devo fare?
Risposte
Ma l'integrale completo quale è? Quali sono gli estremi di integrazione? E soprattutto: se cambi le variabili, avendone due, dovrai scrivere due sostituzioni, non ti pare?
l'integrale completo è proprio quello che ho scritto cioè: $int e^y(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2dx$ non ha estremi d'integrazione infatti devo avere una costate $c(y)$...
quindi devo fare due sostituzioni, il fatto è che non saprei proprio come fare questa seconda sostituzione, non ne ho proprio idea....$e^y=t$?
quindi devo fare due sostituzioni, il fatto è che non saprei proprio come fare questa seconda sostituzione, non ne ho proprio idea....$e^y=t$?
Ma scusa, allora è un integrale in una variabile rispetto ad $x$, la $y$ è come se fosse una costante. Per cui devi semplicemente integrare
$\int{1-z^2}/{(1+z^2)^2}\ dz$
Io, piuttosto che scomporre come hai fatto, osserverei che $1-z^2=(1+z^2)-(2z^2)$ e poi scomporrei rispetto alle cose che ho scritto tra parentesi...
$\int{1-z^2}/{(1+z^2)^2}\ dz$
Io, piuttosto che scomporre come hai fatto, osserverei che $1-z^2=(1+z^2)-(2z^2)$ e poi scomporrei rispetto alle cose che ho scritto tra parentesi...
ah si giusto, hai ragione...
mi trovo un integrale un pò complicato cioè $int 1/(1+z^2)^2dz$ come lo risolvo? per sostituzione?
mi trovo un integrale un pò complicato cioè $int 1/(1+z^2)^2dz$ come lo risolvo? per sostituzione?
No, c'è un metodo standard: se chiami $I_n=\int 1/(1+z^2)^n\ dz$ allora si procede così, integrando per parti si ha
$I_n=\int{1+z^2-z^2}/{(1+z^2)^n}\ dz=\int\frac{1}{(1+z^2)^{n-1}}\ dz-\int {z^2}/{(1+z^2)^n}\ dz=I_{n-1}+\int z/{2(n-1)}\cdot[-\frac{2(n-1)z}{(1+z^2)^n}]\ dz=$
$=I_{n-1}+z/{2(n-1)}\cdot 1/{(1+z^2)^{n-1}}-1/{2(n-1)}\int 1/{(1+z^2)^{n-1}}\ dz={2n-3}/{2(n-1)} I_{n-1}+z/{2(n-1)(1+z^2)^{n-1}}$
Questo ti permette di trovare il valore di $I_2$ conoscendo il valore di $I_1$ (che dovrebbe essere semplice, no?).
$I_n=\int{1+z^2-z^2}/{(1+z^2)^n}\ dz=\int\frac{1}{(1+z^2)^{n-1}}\ dz-\int {z^2}/{(1+z^2)^n}\ dz=I_{n-1}+\int z/{2(n-1)}\cdot[-\frac{2(n-1)z}{(1+z^2)^n}]\ dz=$
$=I_{n-1}+z/{2(n-1)}\cdot 1/{(1+z^2)^{n-1}}-1/{2(n-1)}\int 1/{(1+z^2)^{n-1}}\ dz={2n-3}/{2(n-1)} I_{n-1}+z/{2(n-1)(1+z^2)^{n-1}}$
Questo ti permette di trovare il valore di $I_2$ conoscendo il valore di $I_1$ (che dovrebbe essere semplice, no?).
ma non dovrebbe uscire un arcotangente? cioè io trovo che $I_1=-z/(1+z^2)$ quindi $I_2=-z/(1+z^2)$;
ma così facendo l'integrale:
$int(1-z^2)/(1+z^2)^2dz= $ $ int (1+z^2)/(1+z^2)^2-(2z^2)/(1+z^2)^2dz= $ $ int 1/(1+z^2)dz-2int(z^2)/(1+z^2)^2dz= $
$=arctg (z) -2int 1/(1+z^2)-1/(1+z^2)^2dz=$ $arctg (z) -2int 1/(1+z^2)dz+2int1/(1+z^2)^2dz=$
$=-arctg(z)+2int1/(1+z^2)^2dz$;
adesso risolvendo il secondo integrale con il metodo standard dovrei trovarmi ma non si trova perchè
$I_2= -z/(1+z^2)$ che sostituito in quello di prima esce $-arctg(z)-2z/(1+z^2)$....
cosa sto sbagliando stavolta uffa
ma così facendo l'integrale:
$int(1-z^2)/(1+z^2)^2dz= $ $ int (1+z^2)/(1+z^2)^2-(2z^2)/(1+z^2)^2dz= $ $ int 1/(1+z^2)dz-2int(z^2)/(1+z^2)^2dz= $
$=arctg (z) -2int 1/(1+z^2)-1/(1+z^2)^2dz=$ $arctg (z) -2int 1/(1+z^2)dz+2int1/(1+z^2)^2dz=$
$=-arctg(z)+2int1/(1+z^2)^2dz$;
adesso risolvendo il secondo integrale con il metodo standard dovrei trovarmi ma non si trova perchè
$I_2= -z/(1+z^2)$ che sostituito in quello di prima esce $-arctg(z)-2z/(1+z^2)$....
cosa sto sbagliando stavolta uffa
Il risultato è questo:
$I_2=1/2\arctan z+z/{2(1+z^2)}$
Il fatto è che tu continui a girarci intorno, senza integrare per parti.
$I_2=1/2\arctan z+z/{2(1+z^2)}$
Il fatto è che tu continui a girarci intorno, senza integrare per parti.
è vero!!!!! quello $I_1$ è un integrale!!! mamma mia non ci sto prprio stasera... grazie mille ciampax!!!!
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