Integrale a D dimensioni in cordinate sferiche

[Nick_931]

Salve a tutti =) vorrei chiedervi se potreste illuminarmi sui passaggi con i quali è stato risolto questo integrale. In prati ca si è passati a coordinate sferiche $\sum_i y_i^2=R^2$

$ \int dy_1 dy_2 ... dy_D e^{ (- \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{D} y_i^2 )}=\int dR R^{D-1} e^{-\frac{R^2}{2}} $

considerando la variabile $R^2 ~ \chi^2 $ (l'obbiettivo è ritrovare alla fine al distribuzione del $\chi^2$)

$=\int d\chi^2 (\chi_i^2)^{(M-3)/2} e^(-\frac{\chi^2}{2})$

dove M è il numero di variabili indipendenti.

Questo è ciò che mi ritrovo negli appunti e non riesco a venirne a capo. Sicuramente ho fatto qualche errore negli appunti. Mi chiedevo se potreste darmi una mano =)

[Luca.Lussardi]

prova a rifare per bene nel caso $n=2$ (coordinate polari) e $n=3$ (coordinate sferiche), poi capisci come tirar fuori la cosa generale.

[Nick_931]

Ok =) giusto per avere un riferimento ciò che ho scritto è corretto?

[gugo82]

Se l'integrando dipende unicamente dal raggio vettore, cioé se \(f\) è una funzione radiale del tipo:
\[
f(\mathbf{x}) = f(|\mathbf{x}|) =f(r)
\]
la formula del cambiamento di coordinate polari fornisce:
\[
\int_{\mathbb{R}^N} f(\mathbf{x})\ \text{d} \mathbf{x} = \omega_N\ \int_0^\infty f(r)\ r^{N-1}\ \text{d} r
\]
in cui \(\omega_N\) è la misura della palla unitaria di \(\mathbb{R}^N\).

Spiegare come vien fuori è un po' una rottura di scatole; puoi trovare maggiori ragguagli, ad esempio, in G. Letta, Teoria dell'Integrazione.

[dissonance]

Letta sarà mica uno della dinastia di Gianni ed Enrico? Mi pare che uno di loro fosse un matematico infatti... Forse professore alla Normale.