Integrale
Ciao a tutti. Mi sono bloccato nella risoluzione di questo integrale:
$\int (2x)/(x^2-x+2) dx$
Ecco come ho fatto:
$\int (2x)/(x^2-x+2) dx$$=$$\int (2x-1+1)/(x^2-x+2) dx$$=$$\int (2x-1)/(x^2-x+2) dx$ $+$$\int 1/(x^2-x+2) dx$
Non riesco a risolvere l'ultimo integrale, in nessun modo.
Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Grazie in anticipo.
$\int (2x)/(x^2-x+2) dx$
Ecco come ho fatto:
$\int (2x)/(x^2-x+2) dx$$=$$\int (2x-1+1)/(x^2-x+2) dx$$=$$\int (2x-1)/(x^2-x+2) dx$ $+$$\int 1/(x^2-x+2) dx$
Non riesco a risolvere l'ultimo integrale, in nessun modo.
Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Grazie in anticipo.
Risposte
Per risolvere integrali di quel tipo c'è una procedura più o meno standard che consiste nella ricostruzione della derivata dell'arcotangente. Nella fattispecie \[\displaystyle \int \frac{1}{x^{2} -x +2} \; dx=\int \frac{1}{x^{2} - x + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}} \; dx=\int \frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}} \; dx= \] \[\displaystyle =\frac{4}{7} \int \frac{1}{\left[ \frac{2}{\sqrt{7}} \left(x - \frac{1}{2} \right) \right]^{2} + 1} \; dx=\frac{2}{\sqrt{7}}\arctan \left[\frac{2}{\sqrt{7}} \left(x - \frac{1}{2} \right) \right]+c \]