Integrale

[Alpha881]

Mi è stato assegnato questo integrale
$\int_D (x-2)^2 dx dy$ dove $D={(x,y):x^2+y^2>=1 , |x| <=2 , |y|<= 2}$
Mi è stato molto facile fare il disegno ma per quanto riguarda l'integrale proprio non so da dove partire. Devo fare il cambiamento di variabili, si può risolvere con le formule di riduzione, si usa gauss-green? Proprio non so. Non è che potreste darmi una mano a capire?

[gugo82]

Chiamati \(Q\) il quadrato \(\{|x|\leq 2,\ |y|\leq 2\}\) e \(C\) il cerchio \(\{x^2+y^2<1\}\), si ha \(D=Q\setminus C\); per la proprietà additiva degli integrali si ha:
\[
\int_Q f(x,y)\ \text{d}x \text{d} y= \int_C f(x,y)\ \text{d}x \text{d} y +\int_D f(x,y)\ \text{d}x \text{d} y
\]
e quindi:
\[
\int_D f(x,y)\ \text{d}x \text{d} y= \int_Q f(x,y)\ \text{d}x \text{d} y -\int_C f(x,y)\ \text{d}x \text{d} y\; .
\]
Il primo integrale a destra si calcola con le formule di riduzione; il secondo passando in coordinate polari.

[Alpha881]

Ti ringrazio tanto sto cominciando a vedere il bianco in fondo al tunnel. Allora vediamo se ho capito bene

Il primo integrale dovrebbe essere

$int_Q f(x,y) dx dy $ lo scrivo come $int _-2^(2) dy * (int _-2^(2) (x-2)^2 dy)$
Mentre il secondo

$int_C f(x,y) dxdy$

dovrebbe essere


$int_0^(1) drho * (int_(-pi/2)^(pi/2)[rho^2cos^2theta-4rhocostheta+4]*rho d\theta)$
Spero di nn aver sbagliato. Grazie ancora.

[Alpha881]

Gugo sono scritti in modo corretto gli integrali?