Integrale

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Ciao a tutti

Sto avendo dei problemi con questo esercizio:

$int(e^(2x)-2)/(e^(2x)+3e^x+4) dx$

per iniziare ho fatto una sostituzione $t = e^x$ da cui $x = ln(t)$ quindi $dx = 1/tdt$
quindi l'integrale diventa:

$int(t^2-2)/(t(t^2+3t+4))$

a questo punto scompongo e quindi ottengo:

$int (3t+3)/((t^2+3t+4)2) - int1/(2t)$

a questo punto come dovrei procedere? più che altro non riesco a capire come integrare
$(3t+3)/(2(t^2+3t+4))$

grazie mille anticipatamente...

[Lorin1]

Scusa ma da quando fai la sostituzione $e^x=t$ l'integrale equivalente dovrebbe essere $int (t^2-2)/(t(t^2+3t+4))dt$

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si si ho saltato il -2, scusate...

[Lorin1]

aggiusta un pò i passaggi e riposta ciò che ti dà perplessità!

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mhh cosa dovrei aggiustare più?
mi sembra che ora, almeno fin dove ho fatto, sia giusto... o no??

alla fin fine non riesco ad integrare:

$3/2int(t+1)/(t^2+3t+4)$ che ho scomposto in
$3/2(int(t)/(t^2+3t+4)+int(1)/(t^2+3t+1))$

[Lorin1]

Partiamo da qui: $int (t^2-2)/(t(t^2+3t+4))dt = int (t^2-2)/(t^3+3t^2+4t)dt$, per iniziare secondo me ti converrebbe cercare di scrivere al numeratore la derivata del denominatore.

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mhhh...

quindi procedere così non andava bene?
$int(3t+3)/(2(t^2+3t+4))-int1/(2t)$

comunque, per scrivere al numeratore la derivata del denominatore dovrei procedere in questo modo?

$int(3t^2+6t+4)/(t^3+3t^2+4t)-int(2t)/(t^3+3t^2+4t) - int(6t)/(t^3+3t^2+4t) - int6/(t^3+3t^2+4t)$

[Lorin1]

"_overflow_":mhhh...

quindi procedere così non andava bene?
$int(3t+3)/(2(t^2+3t+4))-int1/(2t)$

comunque, per scrivere al numeratore la derivata del denominatore dovrei procedere in questo modo?

$int(3t^2+6t+4)/(t^3+3t^2+4t)-int(2t)/(t^3+3t^2+4t) - int(6t)/(t^3+3t^2+4t) - int6/(t^3+3t^2+4t)$

Da qui: $int(t^2-2)/(t^3+3t^2+4t)dt = 1/3int(3t^2-6)/(t^3+3t^2+4t)dt = 1/3int(3t^2+6t-6t+4-10)/(t^3+3t^2+4t)dt$ quindi

$1/3int(3t^2+6t+4)/(t^3+3t^2+4t)dt - 2/3int(+3t+5)/(t^3+3t^2+4t)dt$

Si tratta solo di applicare le operazioni di base alla funzione integranda...prova a proseguire ora.

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mhh però in questo modo mi sembra di rimanere sempre allo stesso punto, mi spiego, ora ho:

$1/3int(3t^2+6t+4)/(t^3+3t^2+4t)dt - 2/3int(3t+5)/(t^3+3t^2+4t)$
per il primo integrale non ci sono problemi infatti diventa:
$ln|t(t^2+3t+4)|/3$ però per $int(3t+5)/(t^3+3t^2+4t)$ come dovrei fare? mi è sembrato di ritornare all'inizio...

[Lorin1]

Questo non centra nulla, cioè all'inizio tu avevi comunque una funzione che era al quadrato, adesso abbassandola di un grado dovrebbe essere un pò più facile fare i conti. Poi le strade per fare questo tipo di esercizi sono tante e diverse. Proseguendo con questo ragionamento andiamo a studiare l'integrale che è rimasto...vedendolo così:

$int (3t+5)/(t(t^2+3t+4))dt$

Ora...hai mai sentito parlare della decomposizione di Hermite o tecnica dei fratti semplici!?

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decomposizione di Hermite questa no, mi devo documentare...

però conosco l'altra tecnica e facendo i conti ottengo:

$5/4int1/t-int(5t+3)/(4(t^2+3t+4))$ $=$ $5/4int1/t-1/4(int(5t)/(t^2+3t+4)+int(3)/(t^2+3t+4))$

quindi credo di esserci, però a questo punto avrei potuto fare così direttamente all'inizio o mi sbaglio?...

Grazie mille per avermi dedicato tutto questo tempo, sei stato gentilissimo.

[Lorin1]

Si in realtà se leggi bene il mio post precedente questa tecnica per svolgere gli integrali viene chiamata in tutte e due i modi . Comunque se i conti sono fatti bene diciamo che da qui puoi proseguire. E alla tua domanda ti rispondo SI, e come ho detto prima ci sono modi diversi per svolgere un integrale, c'è chi preferisce farlo dall'inizio, chi invece semplificarsi prima la vita e poi applicare i fratti semplici.