Integrale

[roryrossa]

come si risolve l'integrale di $sqrt(1+e^x)/e^x$ in dx? Ho provato in tutti i modi ma non ci riesco..

[Quinzio]

Inizia con $e^x+1=t^2$

[roryrossa]

ho provato ma non esce.ho fatto per parti dopo, ma niente.

[Quinzio]

$e^x+1=t^2$
$x=\log(t^2-1)$
$dx= (2t)/(t^2-1)$

$\int (\sqrt{e^x+1})/(e^x)\ dx = \int (2t^2)/((t^2-1)^2)\ dt $

Per parti
[tex]\int \frac{2t^2}{(t^2-1)^2} \ dt = - t \frac{1}{t^2-1}-\int -\frac{1}{t^2-1}dt = \frac{-t}{t^2-1}+{1 \over 2}\int \left(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}\right)dt =[/tex]

[tex]=\frac{-t}{t^2-1}+{1 \over 2}\left[log(t-1) - log(t+1)\right][/tex]

[tex]=\frac{-t}{t^2-1}+{1 \over 2} \log\left(\frac{t-1}{t+1}\right)[/tex]

[tex]=\frac{-\sqrt{e^x+1}}{e^x}+{1 \over 2} \log\left(\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}\right)[/tex]

Non ho controllato... del resto a quest'ora non garantisco nulla.

[roryrossa]

scusa quinzio, l'unica cosa che vorrei sapere è da dove esce quell $1/2$

[Gi81]

Secondo la nota formula dei fratti semplici scrivo $1/(t^2-1)=A/(t-1)+ B/(t+1)$, con $A,B in RR$
Troviamo quanto valgono: $A(t+1)+B(t-1)=1=> {(A+B=0),(A-B=1):}=> {(A=1/2),(B= -1/2):}$

Pertanto $1/(t^2-1)=1/2* 1/(t-1)-1/2* 1/(t+1)= 1/2*[1/(t-1)- 1/(t+1) ]$, che è ciò che ha scritto Quinzio

[amivaleo]

in questo passaggio:
[tex]\int \frac{1}{t^2-1}dt = {1 \over 2} \int \left(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}\right)dt[/tex]
quinzy, scrive [tex]\frac{1}{t^2-1} = {1 \over 2} \left(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}\right)[/tex]
basta verificare che quanto scritto a destra, sia equivalente con quel che sta a sinistra quindi, e vedrai che senza l' $1/2$, i due termini non sono uguali