Integrale

[dot1]

Ciao a tutti,
ho un problema con questo integrale: $\int_{pi/4}^{pi} sqrt((cosx)^2*(1-sinx))/(sinx+2) dx$
portando fuori $(cosx)^2$ e dividendo gli intervalli sono arrivato a: $\int_{pi/4}^{pi/2} cosx*sqrt((1-sinx))/(sinx+2) dx - \int_{pi/2}^{pi} cosx*sqrt((1-sinx))/(sinx+2) dx$
che applicando il teorema di sostituzione mi porta a dover risolvere $int sqrt(1-y)/(y+2) dy$
Il problema è che non riesco a vedere qual'è la primitiva.
Ho provato ad usare l'integrazione per parti ma non mi porta da nessuna parte.
Come posso andare avanti?

[Seneca1]

Se i calcoli che hai fatto sono giusti potresti cambiare nuovamente variabile [tex]$z = \sqrt{ 1 - y }$[/tex].

[dot1]

Ma per poter sostituire dovrebbe essere una funzione del tipo: $int f(g(y))g'(y)dy$, ma ponendo $z=sqrt(1-y)$ manca $g'(y)$ cioè $-1/(2*sqrt(1-y))$.

[Seneca1]

Non necessariamente. Da [tex]$z = \sqrt{ 1 - y }$[/tex] trovi [tex]$z^2 = 1 - y$[/tex] e differenziando ambo i membri hai: [tex]$- 2z dz = dy$[/tex].

Sostituendo: [tex]$\int - \frac{ z }{3 - z^2} \cdot 2 z d z$[/tex] ...

[dot1]

niente da fare... non riesco a trovare la primitiva...
ho provato per parti: $int z*(-2z)/(3-z^2) dz = z*log(3-z^2)- int log(3-z^2)dz$
ma per risolvere l'integrale del logaritmo dovrei fare nuovamente per parti e quindi diventa:
$z*log(3-z^2)-[z*log(3-z^2)-int z*(-2z)/(3-z^2) dz] = int z*(-2z)/(3-z^2) dz$ e sono di nuovo al punto di partenza.

ho provato pure scrivendolo come $-2 int z^2/(3-z^2)$ ma non riesco ad arrivare al risultato.

[Gi81]

Mai sentito parlare di integrali fratti? [tex]$2\int \frac{ z^2 }{ z^2-3} d z$[/tex]

$(z^2)/(z^2-3)=(z^2-3+3)/(z^2-3)=1+3/(z^2-3)$

[dot1]

non ci avevo pensato, mi aspettavo di trovare direttamente la primitiva perché c'era quel logaritmo.
Comunque sono arrivato alla primitiva: $2*sqrt(1-sinx)+3/sqrt(3)*(log(sqrt(1-sinx)-sqrt(3))-log(sqrt(1-sinx)+sqrt(3)))$
anche se il primo logaritmo ha l'argomento con segno invertito rispetto al risultato di wolframalpha...

Grazie mille a entrambi per l'aiuto.