Integrale

[roberta19861]

Potete aiutarmi a risolvere
[tex]\int_0^{\infty}(1+y^{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}-1}[/tex]


Dovrebbe fare uno. ho provato in tutti modi ma nn ci riesco . grazie

[roberta19861]

logicamente ho sbagliato.è questo l integrale


[tex]\int_{0}^{\infty}(1+y^{\alpha})^{-\frac{1}{\alpha}-1}[/tex]

[ciampax]

Non vorrei dire una banalità, ma forse quello che devi fare è verificare per quali valori di [tex]$\alpha$[/tex] l'integrale converge, no? Anche perché non mi sembra possibile che l'integrale valga $1$ per ogni valore di [tex]$\alpha$[/tex] (per esempio per [tex]$\alpha=-1$[/tex] diverge)

[roberta19861]

scusa per [tex]\alpha=-1[/tex] fa 0. o no? perchè dici che diverge?

[ciampax]

Se [tex]$\alpha=-1$[/tex] l'integrale diventa [tex]$\int_0^\infty (1+y^{-1})^0\ dy=\int_0^\infty 1\ dy$[/tex] che diverge!

[roberta19861]

giusto. e se [tex]\alpha>0[/tex] come si risolve?

[gugo82]

Eh già... Fa proprio [tex]$1$[/tex].

Il problema è determinare una primitiva dell'integrando.
Io ho pensato così, col trucco:

[tex]$\int (1+y^\alpha)^{-\frac{1}{\alpha} -1}\ \text{d} y=\int (1+y^\alpha)^{-\frac{1}{\alpha}}\ \frac{1}{1+y^\alpha}\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\int (1+y^\alpha)^{-\frac{1}{\alpha}} \left( 1-\frac{y^\alpha}{1+y^\alpha}\right)\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\int \left[ (1+y^\alpha)^{-\frac{1}{\alpha}} - y\ y^{\alpha -1} (1+y^\alpha)^{-\frac{1}{\alpha}-1}\right]\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\int \frac{\text{d}}{\text{d} y}\left[ y(1+y^\alpha)^{-\frac{1}{\alpha}}\right]\ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=y(1+y^\alpha)^{-\frac{1}{\alpha}} +C$[/tex]

ma mi sembra troppo complicato... Quindi, probabilmente, si può trovare un'integrazione per parti che funziona meglio.

Ad ogni modo:

[tex]$\int_0^{+\infty} (1+y^\alpha)^{-\frac{1}{\alpha} -1}\ \text{d} y= \lim_{\eta \to +\infty} \left[ y(1+y^\alpha)^{-\frac{1}{\alpha}}\right]_0^\eta=1$[/tex].