Integrale
premetto che sono partita da questo integrale
$int (cosxdx)/(sqrt((sqrtEcosx)^2-1))$ e sono giunta dopo 3 fogli a questo integrale che non dovrebbe dare grane...
$int (tdt)/ ((sqrt(t^2-1))(sqrt(t^2-E)))$
Ora dalle mie vecchie riminiscenze del corso di analisi 2 mi ricordo vagamente che spezzo il denominatore
$int ((at+b )dt)/sqrt(t^2-1) +((ct+d)dt)/(sqrt(t^2-E)$ ma non viene nulla di ragionevole...
Sapreste aiutarmi ?
Grazie in anticipo
$int (cosxdx)/(sqrt((sqrtEcosx)^2-1))$ e sono giunta dopo 3 fogli a questo integrale che non dovrebbe dare grane...
$int (tdt)/ ((sqrt(t^2-1))(sqrt(t^2-E)))$
Ora dalle mie vecchie riminiscenze del corso di analisi 2 mi ricordo vagamente che spezzo il denominatore
$int ((at+b )dt)/sqrt(t^2-1) +((ct+d)dt)/(sqrt(t^2-E)$ ma non viene nulla di ragionevole...
Sapreste aiutarmi ?
Grazie in anticipo
Risposte
Non lo puoi spezzare così per via della radice. Io avrei fatto tutt'altro dall'inizio, prova a scrivere $ cos^2x = 1-sen^2x $ e a quel punto sostiuisci $ senx = t $ visto che hai la derivata del seno!
nada non mi viene nemmeno nel modo in cui hai suggerito tu... pazienza chiedo domani a qualcuno a lezione...uffa...
Guarda ci ho provato e si riesce! Ho controllato anche il risultato. Se fai come ti ho detto funziona, devi solo stare un attimo attenta a come spezzare il denominatore dopo! Se sostituisci come ti ho detto hai $ 1/(E(1-t^2)-1)=1/((E-1)-(t^2E))=1/((sqrt(E-1)-tsqrt(E))(sqrt(E-1)+tsqrt(E)))$ $= a/(sqrt(E-1)+tsqrt(E))+b/(sqrt(E-1)-tsqrt(E)) $.
ok allora ci riprovo e ti aggiorno tra un pò grazie
Perfetto dopo tre giorni di contemplazione e' venuto anche questo integrale malefico
una cosa sola non mi convince solo il passaggio posto $sinx=t$ allora $dsinx=dt$ è giusto?
Ma io non capisco come fate ad usare la decomposizione in fratti quando a denominatore c'è una radice!!!!!!!! Il metodo corretto è il seguente
[tex]$\int\frac{\cos x}{\sqrt{E\cos^2 x-1}}\ dx=\int\frac{\cos x}{\sqrt{(E-1)-E\sin^2 x}}\ dx$[/tex]
A questo punto puoi usare la sostituzione [tex]$\sin x=\sqrt{\frac{E-1}{E}}\ t$[/tex] da cui [tex]$\cos x\ dx=\sqrt{\frac{E-1}{E}}\ dt$[/tex] e quindi
[tex]$\int\frac{\cos x}{\sqrt{(E-1)-E\sin^2 x}}\ dx=\int\frac{1}{\sqrt{E-1}\cdot\sqrt{1-t^2}}\cdot\sqrt{\frac{E-1}{E}}\ dt=
\frac{1}{\sqrt{E}}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{1}{\sqrt{E}}\ \arcsin t+c$[/tex]
e dalla posizione fatta all'inizio segue il valore dell'integrale
[tex]$\frac{1}{\sqrt{E}}\ \arcsin\left(\sqrt{\frac{E}{E-1}}\ \sin x\right)$[/tex]
[tex]$\int\frac{\cos x}{\sqrt{E\cos^2 x-1}}\ dx=\int\frac{\cos x}{\sqrt{(E-1)-E\sin^2 x}}\ dx$[/tex]
A questo punto puoi usare la sostituzione [tex]$\sin x=\sqrt{\frac{E-1}{E}}\ t$[/tex] da cui [tex]$\cos x\ dx=\sqrt{\frac{E-1}{E}}\ dt$[/tex] e quindi
[tex]$\int\frac{\cos x}{\sqrt{(E-1)-E\sin^2 x}}\ dx=\int\frac{1}{\sqrt{E-1}\cdot\sqrt{1-t^2}}\cdot\sqrt{\frac{E-1}{E}}\ dt=
\frac{1}{\sqrt{E}}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{1}{\sqrt{E}}\ \arcsin t+c$[/tex]
e dalla posizione fatta all'inizio segue il valore dell'integrale
[tex]$\frac{1}{\sqrt{E}}\ \arcsin\left(\sqrt{\frac{E}{E-1}}\ \sin x\right)$[/tex]
CIAMPAX HO FATTO PROPRIO COME HAI FATTO TU ;D
Senti ultimo sforzo per aiutarmi poi non rompo più, almeno con questo ;p, se metto agli estemi $arccos sqrt(1/E)$ e $-arccos sqrt(1/E)$ come fa a venire $pi/sqrt(E)$ ?
ma che è $arcsin*arccos*sqrt(1/sqrt E)$???
Senti ultimo sforzo per aiutarmi poi non rompo più, almeno con questo ;p, se metto agli estemi $arccos sqrt(1/E)$ e $-arccos sqrt(1/E)$ come fa a venire $pi/sqrt(E)$ ?
ma che è $arcsin*arccos*sqrt(1/sqrt E)$???
Aspetta, non ho capito: quello che vuoi calcolare è l'integrale definito seguente
[tex]$\int_a^b f(x)\ dx$[/tex]
dove [tex]$f(x)$[/tex] è la tua funzione e [tex]$a=-\arccos(1/\sqrt{E}),\ b=\arccos(1/\sqrt{E})$[/tex]? Bé, allora puoi procedere così: per prima cosa osserva che
[tex]$\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2 x}=\pm\sqrt{1-\cos^2\left(\pm\arccos(1/\sqrt{E})\right)}=\pm\sqrt{1-\frac{1}{E}}=
\pm\sqrt{\frac{E-1}{E}}$[/tex]
dove vanno presi i due segni a causa della definizione del dominio dell'arcoseno e della funzione seno. Ora, quando effettui la sostituzione avrai che
[tex]$x=a\ \to\ t=-1,\qquad x=b\ \to\ t=1$[/tex]
per cui
[tex]$\int_a^b f(x)\ dx=\int_{-1}^1 F(t)\ dt=\left[\frac{1}{\sqrt{E}}\ \arcsin t\right]_{-1}^1=\frac{1}{\sqrt{E}}\left(\arcsin 1-\arcsin -1\right)=\frac{\pi}{\sqrt{E}}$[/tex]
dal momento che per definizione [tex]$\arcsin 1=\pi/2,\ \arcsin(-1)=-\pi/2$[/tex]
[tex]$\int_a^b f(x)\ dx$[/tex]
dove [tex]$f(x)$[/tex] è la tua funzione e [tex]$a=-\arccos(1/\sqrt{E}),\ b=\arccos(1/\sqrt{E})$[/tex]? Bé, allora puoi procedere così: per prima cosa osserva che
[tex]$\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2 x}=\pm\sqrt{1-\cos^2\left(\pm\arccos(1/\sqrt{E})\right)}=\pm\sqrt{1-\frac{1}{E}}=
\pm\sqrt{\frac{E-1}{E}}$[/tex]
dove vanno presi i due segni a causa della definizione del dominio dell'arcoseno e della funzione seno. Ora, quando effettui la sostituzione avrai che
[tex]$x=a\ \to\ t=-1,\qquad x=b\ \to\ t=1$[/tex]
per cui
[tex]$\int_a^b f(x)\ dx=\int_{-1}^1 F(t)\ dt=\left[\frac{1}{\sqrt{E}}\ \arcsin t\right]_{-1}^1=\frac{1}{\sqrt{E}}\left(\arcsin 1-\arcsin -1\right)=\frac{\pi}{\sqrt{E}}$[/tex]
dal momento che per definizione [tex]$\arcsin 1=\pi/2,\ \arcsin(-1)=-\pi/2$[/tex]
grazie ciampax ;D ora con calma mi vedo tutto bene ;D
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