Integrale
Individuare se l'integrale è convergente e se si quando:
$int_0^(+infty) (sin( sqrt(x)) (sqrt(x)+sin x))/(x(1+x^(3/2))) dx$
Dapprima lo considero come un integrale indefinito, per trovarne la soluzione:
il primo e ultimo passo che ho fatto è stata la sostituzione $sqrt(x)=t -> x=t^2 -> dx=2tdt$
$int_0^(+infty)(sin(t) (t+sin t^2))/(t^2 (1+t^3))2tdt$ -- $t$ del numeratore e $t^2$ del denominatore si semplificano.
Da ora in poi non so come comportarmi.
Ho l'impressione che sia un'integrale fratto con denominatore maggiore del numeratore e quindi ho la tentazione di svolgerlo come se si trattasse di questo caso, però non l'ho mai affrontato con parti trigonometriche.
Aiuti?
$int_0^(+infty) (sin( sqrt(x)) (sqrt(x)+sin x))/(x(1+x^(3/2))) dx$
Dapprima lo considero come un integrale indefinito, per trovarne la soluzione:
il primo e ultimo passo che ho fatto è stata la sostituzione $sqrt(x)=t -> x=t^2 -> dx=2tdt$
$int_0^(+infty)(sin(t) (t+sin t^2))/(t^2 (1+t^3))2tdt$ -- $t$ del numeratore e $t^2$ del denominatore si semplificano.
Da ora in poi non so come comportarmi.
Ho l'impressione che sia un'integrale fratto con denominatore maggiore del numeratore e quindi ho la tentazione di svolgerlo come se si trattasse di questo caso, però non l'ho mai affrontato con parti trigonometriche.
Aiuti?
Risposte
Non è richiesto il calcolo dell'integrale, devi solamente dire se converge o meno, dunque devi studiare la funzione integranda.
[tex]$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 0$[/tex], dunque, verso più infinito è rispettata la condizione necessaria per la convergenza, ovvero che la funzione è infinitesima. Andando ad applicare qualche maggiorazione, possiamo dire [tex]$f(x) \le \frac{\sqrt{x} + 1}{x(1+x^{\frac{3}{2}})}$[/tex], e questa si può considerare circa [tex]$\frac{1}{x^2}$[/tex] che converge per [tex]$x\rightarrow +\infty$[/tex] nell'intervallo [tex]$[1,+\infty[$[/tex].
Per [tex]$x\rightarrow 0$[/tex] [tex]$f(x)\approx \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + x)}{x(1+x^{\frac{3}{2}})}$[/tex], questo applicando gli sviluppi in serie di Taylor centrati in zero.
[tex]$ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + x)}{x(1+x^{\frac{3}{2}})} = \frac{x(1+\sqrt{x})}{x(1+x^{\frac{3}{2}})} = \frac{1+\sqrt{x}}{1+x^{\frac{3}{2}}} \rightarrow 1$[/tex] per [tex]$x\rightarrow 0$[/tex].
Dunque verso zero, la funzione è limitata e quindi si può concludere globalmente che l'integrale è convergente, infatti si ha [tex]$\int_0^{+\infty} = \int_0^1 +\int_1^{+\infty}$[/tex] e quindi il primo integrale converge poichè verso zero e verso uno rimane limitata, il secondo converge per il confronto asintotico.
[tex]$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 0$[/tex], dunque, verso più infinito è rispettata la condizione necessaria per la convergenza, ovvero che la funzione è infinitesima. Andando ad applicare qualche maggiorazione, possiamo dire [tex]$f(x) \le \frac{\sqrt{x} + 1}{x(1+x^{\frac{3}{2}})}$[/tex], e questa si può considerare circa [tex]$\frac{1}{x^2}$[/tex] che converge per [tex]$x\rightarrow +\infty$[/tex] nell'intervallo [tex]$[1,+\infty[$[/tex].
Per [tex]$x\rightarrow 0$[/tex] [tex]$f(x)\approx \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + x)}{x(1+x^{\frac{3}{2}})}$[/tex], questo applicando gli sviluppi in serie di Taylor centrati in zero.
[tex]$ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + x)}{x(1+x^{\frac{3}{2}})} = \frac{x(1+\sqrt{x})}{x(1+x^{\frac{3}{2}})} = \frac{1+\sqrt{x}}{1+x^{\frac{3}{2}}} \rightarrow 1$[/tex] per [tex]$x\rightarrow 0$[/tex].
Dunque verso zero, la funzione è limitata e quindi si può concludere globalmente che l'integrale è convergente, infatti si ha [tex]$\int_0^{+\infty} = \int_0^1 +\int_1^{+\infty}$[/tex] e quindi il primo integrale converge poichè verso zero e verso uno rimane limitata, il secondo converge per il confronto asintotico.
Ci ritorno sopra, dopo un po di tempo.
Adottando il criterio del confronto.. posso dire:
$(sin( sqrt(x)) (sqrt(x)+sin x))/(x(1+x^(3/2)))$ che denomino $f(x)$, sia minore di $((sqrt(x))(x+x))/(x(1+x^(3/2)))$, che denomino $g(x)$?
Stabilito che $0<=f(x)<=g(x)$, faccio il lim di $g(x)$ e tende a $0$, per cui $g(x)$ converge e allora anche $f(x)$ converge.
Adottando il criterio del confronto.. posso dire:
$(sin( sqrt(x)) (sqrt(x)+sin x))/(x(1+x^(3/2)))$ che denomino $f(x)$, sia minore di $((sqrt(x))(x+x))/(x(1+x^(3/2)))$, che denomino $g(x)$?
Stabilito che $0<=f(x)<=g(x)$, faccio il lim di $g(x)$ e tende a $0$, per cui $g(x)$ converge e allora anche $f(x)$ converge.
o il lim deve essere diverso da $0$?
Fai attenzione
Se poni
$f(x)=(sin( sqrt(x)) (sqrt(x)+sin x))/(x(1+x^(3/2)))$
$g(x)=((sqrt(x))(x+x))/(x(1+x^(3/2)))$
in base a cosa affermi che $f(x)<=g(x)$ ?
Altra cosa: se prendi $x_0=(3/2\pi)^2$ avrai $f(x_0)<0$
Se poni
$f(x)=(sin( sqrt(x)) (sqrt(x)+sin x))/(x(1+x^(3/2)))$
$g(x)=((sqrt(x))(x+x))/(x(1+x^(3/2)))$
in base a cosa affermi che $f(x)<=g(x)$ ?
Altra cosa: se prendi $x_0=(3/2\pi)^2$ avrai $f(x_0)<0$
non posso dire che $sin(sqrt(x))0$
Per il secondo punto che mi evidenzi, in effetti.. e quindi? cosa dovrei fare?
Per il secondo punto che mi evidenzi, in effetti.. e quindi? cosa dovrei fare?
Up!
Per [tex]$x\rightarrow 0$[/tex] [tex]$f(x)\approx \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + x)}{x(1+x^{\frac{3}{2}})}$[/tex], questo applicando gli sviluppi in serie di Taylor centrati in zero.
Che significa, come hai fatto a trovare tale approssimazione?
Che significa, come hai fatto a trovare tale approssimazione?
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